Massimi e minimi di una funzione continua

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Massimi e minimi di una funzione continua
Tipo di risorsa Tipo: appunti
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica
Avanzamento Avanzamento: appunti completi al 75%.

Massimi e minimiModifica

Teorema (di Weierstrass)Modifica

Sia   una funzione continua in tutto   con intervallo chiuso. Se   è compatto, allora   è dotata di massimo e di minimo su  .

LemmaModifica

Sia   e  . Allora esiste una successione   in   tendente al  .
Inoltre esiste un'altra successione   in   tendente all' .

Dimostrazione del LemmaModifica

Proviamo la prima affermazione, ovvero che esiste una successione in   tale che   tende al  .
Questo   può essere un numero reale oppure  . Supponiamo ora il caso che sia reale.
Se  , esiste allora per ogni   un qualche valore   tale che  . Poniamo allora

 .

Si ha che (per quanto detto prima)   non è vuoto e certamente è contenuto in  . Allora, per l'assioma della scelta, esiste una funzione   tale che  , cioè esiste una funzione che associa ad ogni naturale, quell'   che sta nell'intervallo corrispondente al naturale in esame.
Dunque tutti questi   formano una successione che chiamiamo appunto   in   che ha limite  .
Dunque  .

Proviamo ora la seconda affermazione nel secondo caso, ovvero supponiamo l'  e dimostriamo che esiste una successione   che tende all' , che chiamiamo  .
Se  , poniamo allora

 .

Siccome la condizione che   è sempre verificata, per un fissato   ed un opportuno  ,   non è vuoto ed è contenuto in  . Per l'assioma della scelta esiste una funzione   tale che ad ogni naturale viene associato un valore di  . Denotiamo questi valori con  . Ma per come è definita,   è in realtà una successione che diverge a   in quanto  , per un   indice della successione "abbastanza grande". E questo vuole appunto dire che

 

Gli altri casi si provano in maniera analoga e sono lasciati per esercizio.

 
Dimostrazione del Teorema di WeierstrassModifica

Proviamo l'esistenza del massimo. Ancora, quella del minimo la omettiamo per brevità ma è un utile esercizio che vi consigliamo di fare.
Per il Lemma, esiste in   una successione   tale che   e poiché   è compatto, si può estrarre da ogni successione di   una sottosuccessione convergente ad un punto  . Se si può estrarre da ogni successione, in particolare lo si può fare anche con la nostra successione   e lo facciamo con la sottosuccessione  .
Ma   è continua in ogni punto di   e quindi anche in  . Allora

 .

Però avevamo trovato prima che  . Allora, per il Teorema di convergenza/divergenza delle sottosuccessioni, necessariamente anche la sottosuccesione tende a  .
Per l'unicità del limite però, si ha che

 

dunque   ma  , dunque   e quindi

 
 


Teorema (di Bolzano o degli zeri)Modifica

Siano  . Sia poi   tale che  .
Allora

 
DimostrazioneModifica

Poniamo   come il punto medio di  , cioè

 .

Possono dunque presentarsi due possibilità:

  •  
  •  .

Se si verifica la prima condizione, poniamo

  e  

Se invece si verifica il secondo caso, poniamo

  e  .

Abbiamo ora:

 

e si ha in entrambe le eventualità

 

.

Ripetiamo il procedimento e poniamo  , cioè sia   il punto medio dell'intervallo  .
Anche in questo caso si possono presentare le due eventualità di prima, cioè

  •   ed in tal caso  
  •   ed in tal caso  .

Abbiamo ora:

 

e si ha in entrambe le eventualità

 

cioè l'ampiezza dell'intervallo dove è contenuto lo zero si è dimezzata ulteriormente.

Ripetendo questo procedimento si ottengono due successioni   e   in   tali che:

 

e

 .

Tutte e due le successioni sono in   e dunque sono limitate. Inoltre sono monotone (  è crescente mentre   è decrescente). Essendo allora limitate e monotone, sono convergenti. Infatti,   è limitata e dunque non può essere maggiore di   né minore di  . D'altra parte è sempre crescente, dunque   e questo implica che

 

e dunque converge ad un certo valore in  .
Inoltre notiamo che

 

cioè mano a mano che ripetiamo il procedimento all'infinito l'intervallo in cui è contenuto lo zero si restringe fino a diventare nullo (cioè fino ad essere lo zero che cerchiamo).
Poiché le successioni sopra sono in  , per quanto visto sopra si ha

 .

Siccome   è continua,   e  . Dunque, ripetendo all'infinito il procedimento solito, si ha

 .

Ma   e dunque anche  .
E questo implica necessariamente che   (perché stiamo parlando di numeri reali e non può mai essere che  ).

 


Teorema (del valor intermedio)Modifica

Sia   un intervallo reale e sia   una funzione a valori reali continua su tutto  .
Allora, per ogni coppia di punti   tali che   e per ogni punto   compreso in questi  , esiste un   tale che  .

DimostrazioneModifica

  (per definizione di funzione). Allora possiamo avere   o  . Consideriamo per brevità solo il primo caso, ma il secondo si proverà in maniera analoga.Poniamo:

 .

  è continua in   e   perché

 . Essendo  , il primo fattore è negativo mentre il secondo è positivo.

Per il Teorema di Bolzano, esiste un   tale che  . Da ciò

 

Dunque, come si voleva dimostrare, esiste almeno un   tale che   è contenuto nell'intervallo.