Successioni divergenti

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Successioni divergenti
Tipo di risorsa Tipo: appunti
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica
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Successioni divergenti

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La successione in     si dice divergente se

 

e dunque

  1.  
  2.  

Nel primo caso si dice che la successione diverge positivamente, mentre nel secondo caso diverge negativamente.

In termini intuitivi, una successione che diverge è una successione di numeri che non tende a nessun numero finito, ma cresce indefinitamente fino a "perdersi" all'infinito.

Inoltre, analogamente alle successioni convergenti, il limite in senso esteso (cioè quando è  , dunque non è un numero reale) è unico.

Teorema (divergenza delle sottosuccessioni)

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Se   è una successione divergente (positivamente o negativamente), allora ogni sottosuccessione   è anch'essa divergente positivamente (se lo è anche  ) o negativamente (se lo è anche  ).

Dimostrazione
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La dimostrazione è analoga a quella del Teorema di convergenza di una sottosuccessione.

Per fissare le idee, prendiamo il caso di  . Allora

 

Anche qui però,  , perché non può essere altrimenti visto che se così fosse   non sarebbe una sottosuccessione. Dunque, se   diverge positivamente per ogni  , a maggior ragione diverge positivamente anche la sottosuccessione, visto che ogni suo  .

 


Algebra delle successioni divergenti

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Siano   successioni. allora

(i)  
(ii)  
(iii)  
(iv)  
(v)  
(vi) 
(vii) 
(viii) .


Dimostrazione
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 Nota:
fare le dimostrazioni

Teorema (del confronto per successioni divergenti)

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Siano   due successioni e  .
Se   si ha che anche   cioè  , che va all'infinito ed è minore di  , "spinge" anche   all'infinito insieme ad essa.

Analogamente l'inverso, cioè se   e   diverge negativamente, spinge   a  .

Dimostrazione
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 .
Se   per tutti gli   e   sempre per tutti gli  , certamente anche ogni   è maggiore di   e dunque anch'essa tende a  .

In modo identico si prova la seconda affermazione.

 


Criteri di esistenza del limite

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Successioni monotone

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Sia   una successione reale tale che

 

Una successione siffatta si dice monotona crescente.
Se   si dice monotona strettamente crescente

Analogamente si definiscono gli altri tipi di successioni:

  •   si dice monotona decrescente;
  •   si dice monotona strettamente decrescente;

Tali successioni useremo a volte denotarle con il simbolo   o   per indicare una successione monotona crescente e decrescente.

Vediamo ora un importante teorema.

Teorema (esistenza del limite di una successione monotona)

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Sia   una successione monotona. Allora   ammette limite e

(i)  

(ii)  


Dimostrazione
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(i) Consideriamo il caso in cui la successione sia limitata superiormente. Allora, per la completezza di  , sappiamo che esiste  . Allora

 

e dunque

 

Inoltre

 

e siccome la successione è crescente,   e a maggior ragione vale

 .

Dunque

 

Supponiamo ora che la successione non sia limitata, cioè

 .

Analogamente a prima, abbiamo che

 .

Sempre per la monotonia di  , sappiamo che   anche qui abbiamo ancora più rafforzata l'espressione precedente. Dunque

 

Dunque la serie è divergente e

 

(ii) In modo del tutto analogo si prova la (ii) e la omettiamo per brevità.

 


Esempio (il numero di Nepero)
(esercizio su nepero)

Teorema (di Bolzano-Weiestrass)

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In uno spazio euclideo k-dimensionale si può estrarre una sottosuccessione convergente da ogni successione limitata.

Dimostrazione
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