Successioni divergenti

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Successioni divergenti

La successione in $\mathbb {R}$ $(a_{n})$ si dice divergente se

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\pm \infty$

e dunque

1. $\forall k\in \mathbb {R} \exists m\in \mathbb {N} \ :\ a_{n}>k,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m$
2. $\forall k\in \mathbb {R} \exists m\in \mathbb {N} \ :\ a_{n}<-k,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m$

Nel primo caso si dice che la successione diverge positivamente, mentre nel secondo caso diverge negativamente.

In termini intuitivi, una successione che diverge è una successione di numeri che non tende a nessun numero finito, ma cresce indefinitamente fino a "perdersi" all'infinito.

Inoltre, analogamente alle successioni convergenti, il limite in senso esteso (cioè quando è $\pm \infty$, dunque non è un numero reale) è unico.

Teorema (divergenza delle sottosuccessioni)

Se $(a_{n})$ è una successione divergente (positivamente o negativamente), allora ogni sottosuccessione $(a_{i_{n}})$ è anch'essa divergente positivamente (se lo è anche $(a_{n})$) o negativamente (se lo è anche $(a_{n})$).

Dimostrazione

La dimostrazione è analoga a quella del Teorema di convergenza di una sottosuccessione.

Per fissare le idee, prendiamo il caso di $\lim _{n\to \infty }a_{n}=+\infty$. Allora

$\forall k\in \mathbb {R} \ \exists m\in \mathbb {R} \ :\ a_{n}>k,\ \forall n>m,n\in \mathbb {N}$

Anche qui però, $i_{n}\geq n,\ \ \forall n\in \mathbb {N}$, perché non può essere altrimenti visto che se così fosse $(a_{i_{n}})$ non sarebbe una sottosuccessione. Dunque, se $(a_{n})$ diverge positivamente per ogni $n>m$, a maggior ragione diverge positivamente anche la sottosuccessione, visto che ogni suo $i_{n}\geq n$.

$\Box$

Algebra delle successioni divergenti

Siano $(a_{n}),\ (b_{n})$ successioni. allora

(i) $a_{n}\to +\infty (-\infty ),\ b_{n}\to +\infty (-\infty )\Longrightarrow a_{n}+b_{n}\to +\infty (-\infty )$
(ii) $a_{n}\to +\infty (-\infty ),\ b_{n}\to +\infty (-\infty )\Longrightarrow a_{n}b_{n}\to +\infty (-\infty )$
(iii) $a_{n}\to +\infty ,\ b_{n}\to -\infty \Longrightarrow a_{n}b_{n}\to -\infty$
(iv) $a_{n}\to +\infty (-\infty ),\ b_{n}\to \mu \in \mathbb {R} \Longrightarrow a_{n}+b_{n}\to +\infty (-\infty )$
(v) $a_{n}\to +\infty (-\infty ),\ b_{n}\to \mu \in \mathbb {R} \Longrightarrow a_{n}b_{n}\to {\begin{cases}+\infty ,\ \ \mu >0\\-\infty ,\ \ \mu <0\end{cases}}$
(vi)$a_{n}\to +\infty (-\infty ),a_{n}\neq 0\forall n\in \mathbb {N} \Longrightarrow {\frac {1}{a_{n}}}\to 0$
(vii)$a_{n}\to 0,a_{n}>0(<0)\forall n\in \mathbb {N} \Longrightarrow {\frac {1}{a_{n}}}\to +\infty (-\infty )$
(viii)$a_{n}\to \pm \infty ,\Longrightarrow |a_{n}|\to +\infty$.

Dimostrazione

Nota:
fare le dimostrazioni

Teorema (del confronto per successioni divergenti)

Siano $(a_{n}),\ (b_{n})$ due successioni e $(a_{n})\to +\infty ,\ \forall n\in \mathbb {N}$.
Se $a_{n}\leq b_{n},\ \forall n\in \mathbb {N}$ si ha che anche $(b_{n})\to +\infty$ cioè $(a_{n})$, che va all'infinito ed è minore di $(b_{n})$, "spinge" anche $(b_{n})$ all'infinito insieme ad essa.

Analogamente l'inverso, cioè se $a_{n}\leq b_{n},\ \forall n\in \mathbb {N}$ e $(b_{n})$ diverge negativamente, spinge $(a_{n})$ a $-\infty$.

Dimostrazione

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=+\infty \Leftrightarrow \forall k\in \mathbb {R} \exists m\in \mathbb {N} \ :\ a_{n}>k,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m$.
Se $b_{n}\geq a_{n}$ per tutti gli $n\in \mathbb {N}$ e $a_{n}>k$ sempre per tutti gli $n$, certamente anche ogni $b_{n}$ è maggiore di $k$ e dunque anch'essa tende a $+\infty$.

In modo identico si prova la seconda affermazione.

$\Box$

Criteri di esistenza del limite

Successioni monotone

Sia $(a_{n})$ una successione reale tale che

$a_{n}\leq a_{n+1},\ \ \forall n\in \mathbb {N}$

Una successione siffatta si dice monotona crescente.
Se $a_{n}<a_{n+1}$ si dice monotona strettamente crescente

Analogamente si definiscono gli altri tipi di successioni:

• $a_{n}\geq a_{n+1}$ si dice monotona decrescente;
• $a_{n}>a_{n+1}$ si dice monotona strettamente decrescente;

Tali successioni useremo a volte denotarle con il simbolo $(a_{n})\uparrow$ o $(a_{n})\downarrow$ per indicare una successione monotona crescente e decrescente.

Vediamo ora un importante teorema.

Teorema (esistenza del limite di una successione monotona)

Sia $(a_{n})$ una successione monotona. Allora $(a_{n})$ ammette limite e

(i) $a_{n}\uparrow \Rightarrow \lim _{n\to \infty }a_{n}=\sup _{n\in \mathbb {N} }a_{n}$

(ii) $a_{n}\downarrow \Rightarrow \lim _{n\to \infty }a_{n}=\inf _{n\in \mathbb {N} }a_{n}$

Dimostrazione

(i) Consideriamo il caso in cui la successione sia limitata superiormente. Allora, per la completezza di $\mathbb {R}$, sappiamo che esiste $\lambda \in \mathbb {R} =\sup _{n\in \mathbb {N} }a_{n}$. Allora

$a_{n}\leq \lambda ,\ \forall n\in \mathbb {N}$

e dunque

$a_{n}<\lambda +\varepsilon ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,\forall \varepsilon >0$

Inoltre

$\forall \varepsilon >0\exists m\in \mathbb {N} \ :a_{m}>\lambda -\varepsilon ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m$

e siccome la successione è crescente, $a_{n}\geq a_{m},\ \forall n>m$ e a maggior ragione vale

$\forall \varepsilon >0\exists m\in \mathbb {N} \ :a_{n}>\lambda -\varepsilon ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m$.

Dunque

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lambda =\sup _{n\in \mathbb {N} }a_{n}$

Supponiamo ora che la successione non sia limitata, cioè

$\sup _{n\in \mathbb {N} }a_{n}=+\infty$.

Analogamente a prima, abbiamo che

$\forall k\in \mathbb {R} \ \exists m\in \mathbb {N} \ :\ a_{m}>k$.

Sempre per la monotonia di $a_{n}$, sappiamo che $a_{n}\geq a_{m},\ \forall n>m$ anche qui abbiamo ancora più rafforzata l'espressione precedente. Dunque

$\forall k\in \mathbb {R} \ \exists m\in \mathbb {N} \ :\ a_{n}>k,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m$

Dunque la serie è divergente e

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\sup _{n\in \mathbb {N} }a_{n}=+\infty$

(ii) In modo del tutto analogo si prova la (ii) e la omettiamo per brevità.

$\Box$

Esempio (il numero di Nepero)

(esercizio su nepero)

Teorema (di Bolzano-Weiestrass)

In uno spazio euclideo k-dimensionale si può estrarre una sottosuccessione convergente da ogni successione limitata.

Dimostrazione

{{todo|Risc