Introduzione alla nozione di spazio vettoriale

Spazi e sottospazi vettoriali

Un insieme di vettori $V$ appartenenti ad un qualsiasi campo formano uno spazio vettoriale se $(V;+)$ è un gruppo abeliano e $(V;*)$, con $*$ prodotto per uno scalare, gode della proprietà distributiva, associativa, esistenza dell'elemento neutro e dello 0. In altri termini, esplicitando le proprietà:

$\forall u,v,w\in V$

1. $(u+v)+w=u+(v+w)\,\!$
2. $\exists O:v+O=v\,\!$
3. $\exists -v:v+(-v)=O\,\!$
4. $u+w=w+u\,\!$

$\forall u,v,w\in V,\lambda ,\mu \in \mathbb {R}$

1. $\lambda (u+v)=\lambda u+\lambda v\,\!$
2. $v(\lambda +\mu )=\lambda v+\mu v\,\!$
3. $(\lambda \mu )v=\lambda (\mu v)\,\!$
4. $0v=O\,\!$
5. $1v=v\,\!$

Un sottospazio vettoriale di $V$ è un insieme $U\subseteq V$ con la proprietà di chiusura per le operazioni di somma e prodotto per uno scalare, cioè:

$\forall u,u^{\prime }\in U,\lambda \in \mathbb {R} :u+u^{\prime }\in U,\lambda u\in U$

e si indica scrivendo $U\leq V$

Esempi di spazi e sottospazi vettoriali

$\mathbb {R} ^{3}$ è uno spazio vettoriale. Infatti soddisfa tutte le proprietà descritte sopra.

Combinazioni lineari di vettori

Definizione: si definisce combinazione lineare di $n$ vettori $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ con coefficienti $a_{1},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {R}$ il vettore

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}=a_{1}v_{1}+\ldots +a_{n}v_{n}\in V$.

Si definisce inoltre il sottospazio generato dai $v_{1},...,v_{n}$ l'insieme delle combinazioni lineari dei $v_{1},...,v_{n}$, cioè:

${\mathcal {L}}(v_{1},...,v_{n})=\left\{v_{i}\in V,a_{i}\in \mathbb {R} \mid \sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\right\}$

Dunque, dato $U\,$ uno spazio vettoriale e $V\leq U$ sottospazio vettoriale, diremo che i vettori $v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\,$ generano il sottospazio $V\,$ se tutti gli elementi di $V\,$ possono essere scritti come combinazione lineare dei vettori $v_{i}\,$.

È facilmente verificabile che esso è effettivamente un sottospazio di $V$ e potete provare a farlo come esercizio.

Si osservi che dalla sola definizione data non è necessario che tali generatori siano "necessari" per generare lo spazio. Non è escluso cioè che togliendo dall'insieme un vettore, il sottospazio vettoriale così generato resti lo stesso.

Esempi

• Dato un vettore non nullo $v\in V\,$ si ha che il sottospazio generato da $v$ (spesso indicato con $\langle v\rangle$ o anche come ${\text{span}}(v)\,$ o come ${\mathcal {L}}(v)$) è l'insieme di tutti i multipli di $v\,$. La verifica delle proprietà di sottospazio è immediata.
• (solo per studenti con nozioni di geometria analitica) Consideriamo il sottospazio vettoriale di $\mathbb {R} ^{3}\,$ con equazioni cartesiane $W:z=0\,$ nell'usuale sistema di coordinate. Si osserva facilmente che un insieme di generatori di tale sottospazio è dato dai vettori ${\hat {i}},{\hat {j}}$ definiti nell'esempio successivo.

Infatti un generico punto del sottospazio ha la forma $w={\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\0\end{pmatrix}}$ e può quindi essere scritto come $w=w_{1}{\hat {i}}+w_{2}{\hat {j}}\,$.

Questo dimostra che il sottospazio generato da ${\hat {i}}\,$ e ${\hat {j}}\,$ contiene $W\,$. Il viceversa è banalmente vero unicamente osservando che i due generatori appartengono entrambi al sottospazio $W$.

• Rispetto all'esempio appena considerato si può osservare che qualsiasi coppia di vettori della forma $k_{i}{\hat {i}},k_{j}{\hat {j}}\,$ con $k_{i},k_{j}\neq 0$, genera lo stesso sottospazio $W\,$.

Dipendenza e indipendenza lineare

Definizione: un insieme di vettori $v_{1},...,v_{n}\in V$ si dicono linearmente dipendenti se esistono degli $a_{1},...,a_{n}\in \mathbb {R}$ non tutti nulli tali che

$a_{1}v_{1}+...+a_{n}v_{n}=O$.

Viceversa, i vettori si dicono linearmente indipendenti, ovvero se

$a_{1}v_{1}+...+a_{n}v_{n}=O\Rightarrow a_{1}=...=a_{n}=0$.

Vedremo più avanti, quando studieremo i sistemi lineari, metodi più efficaci per determinare la dipendenza o indipendenza lineare di un insieme vettori. In ogni caso, facciamone comunque qualche esempio utile a chi ha già nozioni di sistemi lineari e rango di una matrice.

Esempi

Consideriamo lo spazio vettoriale reale $\mathbb {R} ^{2}$. Verifichiamo che i vettori ${\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$ sono linearmente indipendenti. Prendiamo in esame una generica combinazione lineare a coefficienti reali dei due vettori e mostriamo che essa è il vettore nullo se e soltanto se entrambi i coefficienti sono nulli. Una generica combinazione lineare dei due vettori è il vettore della forma

$x{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+y{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}\qquad {\text{con }}x,y\in \mathbb {R}$

Analizziamo ora le implicazioni che derivano dal supporre che una tale combinazione risulti essere il vettore nullo

$x{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+y{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$

riscrivendo tale condizione si ottiene il seguenti sistema

${\begin{cases}1x+2y=0\\1x+3y=0\end{cases}}$

il quale ha solo la soluzione banale $x=y=0\,$. Abbiamo dunque mostrato che ogni combinazione lineare dei due vettori è il vettore nullo se e soltanto se i coefficienti di tale combinazione lineare sono nulli. Questo dimostra che i due vettori sono linearmente indipendenti.

Analogamente all'esempio 1 si può mostrare che i versori di $\mathbb {R} ^{3}$:

${\hat {i}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\ {\hat {j}}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\ {\hat {k}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

sono linearmente indipendenti. Daremo di seguito una dimostrazione alternativa allo scopo di mostrare un altro approccio all'indipendenza lineare basato sulle matrici. Dalla definizione di indipendenza lineare segue che, se ${\hat {i}},{\hat {j}}\,$ e ${\hat {k}}\,$ non fossero linearmente indipendenti, esisterebbero tre coefficienti scalari non nulli

$x_{i},x_{j}\,$ e $x_{k}\,$ tali che $x_{i}{\hat {i}}+x_{j}{\hat {j}}+x_{k}{\hat {k}}=0$.

Questa condizione si può banalmente riscrivere come $x_{i}{\hat {i}}+x_{j}{\hat {j}}=-x_{k}{\hat {k}}$, il che significa che se ${\hat {i}},{\hat {j}},{\hat {k}}$ non sono linearmente indipendenti uno di essi (nel nostro caso ${\hat {k}}$) appartiene al sottospazio vettoriale generato dagli altri due. Possiamo quindi dire che la matrice costituita dai tre vettori non avrà rango massimo, in particolare in questo caso sarà:

${\rm {rg}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}<3$

ma questo è assurdo essendo la matrice esattamente la matrice identica. Questo ragionamento dà una caratterizzazione equivalente dell'indipendenza lineare, ovvero:

I vettori $v_{1},\dots ,v_{n}\in V$ sono linearmente indipendenti se e solo se la matrice $A\,$ che ha come colonne tali vettori ha rango massimo