Introduzione all'algebra lineare

Lezione 1

Per cominciare un benvenuto a tutti. Cominceremo assieme un appassionante percorso tra alcuni degli argomenti più importanti della matematica.

Introduzione

L'algebra lineare è per definizione lo studio degli spazi vettoriali. Questo non dice molto a chi segue un corso introduttivo. Cerchiamo una spiegazione che non richieda l'introduzione di definizioni rigorose (in futuro ne daremo a bizzeffe).

    Sia in matematica pura che applicata (e quindi dall'algebra ai modelli matematici che si usano, ad esempio, in fisica), si incontrano delle strutture con caratteristiche comuni. Consideriamo ad esempio:

1. lo spazio tridimensionale in cui si svolgono i fenomeni meccanici;
2. l'insieme dei polinomi a coefficienti reali, cioè tutte le espressioni del tipo

   $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$;

3. l'insieme delle le successioni;
4. l'insieme delle le matrici di una certa dimensione (es.: 2x2, 3x5,...);
5. l'insieme delle soluzioni di un'equazione differenziale lineare;

che sono oggetti molto diversi tra loro. A noi intessa capire le relazioni che si instaurano tra gli elementi quando definiamo sugli insiemi delle operazioni: un'operazione è, in fin dei conti, un legame tra due elementi ed un altro.

    Questi esempi vengono tutti con delle operazioni naturali (ad esempio in fisica per sommare due "freccette" che indicano la posizione è naturale usare la regola del parallelogramma, o ancora, è ovvio definire la somma di due polinomi come il polinomio che ha come coefficienti la somma dei coefficienti degli addendi), che ovviamente sono definite in modo diverso per ogni caso ma godono tutte delle stesse proprietà. Non preoccupatevi se la cosa al momento vi sembra misteriosa e confusa. Avremo modo di tornare su ogni singolo dettaglio in futuro. Per il momento dovete solo capire che noi andremo a studiare quello che c'è in comune tra tutti gli esempi citati sopra (ed infiniti altri) quando li si dota di queste operazioni; che d'altra parte è quello che si fa in matematica: si prende una struttura generale i cui assiomi valgono per una miriade di casi concreti interessanti, e si dimostrano dei risultati inerenti ad essa.

    Riguardo al materiale di studio, oltre alle lezioni e ai testi suggeriti nella pagina del corso, consigliamo di usare wikipedia, mathworld o planetmath per riferimenti rapidi quando non si ricordi qualche nozione particolare. Alla fine di ogni sezione saranno inseriti riferimenti internet e bibliografici specifici. Per quegli esempi o parti del corso che possiamo solo accennare in relazione all'algebra lineare, ma che meriterebbero un approfondimento per la loro importanza e/o bellezza, si cercherà di indirizzare il lettore interessato a fonti precise.

    Si cercherà di mettere più esercizi possibili, la maggior parte senza soluzione (prima di tutto perché mettere una soluzione per tutti è disumano per colui che deve scrivere, poi perché la mancanza di soluzioni costringe chi è curioso di spaccarcisi un po' la testa sopra e aiuta a sviluppare una certa autocritica, nonché fiducia nelle proprie capacità). Gli esercizi sanno più di tipo rielaborativo che semplicemente di "conti". Scontato che si consiglia vivamente di provare a farli. Un esempio: secondo voi c'è una qualche relazione tra l'esempio due e il tre? Se non la trovate, ancora, non preoccupatevi, è difficile che la vediate se non sapete da che punto di vista guardare (Hint: il due è, in un certo senso, un sottoinsieme del tre).

    Prima di entrare nel cuore dell'argomento, in questa e nella prossima lezione richiameremo alcune delle nozioni base, in particolare relazioni di equivalenza, polinomi e numeri complessi. Riguardo ai complessi, per aumentare confidenza e familiarità, tratteremo qualcosa in più di quello che ci servirà. Vedremo anche le relazioni d'ordine e il Lemma di Zorn (argomenti di teoria degli insiemi che forse avete già sentito), ma non all'inizio. Li introdurremo quando ci serviranno per una dimostrazione inerente agli spazi vettoriali.

Relazioni di equivalenza e insiemi quoziente

Adesso vedremo una costruzione che ritornerà spesso in futuro. Visto che dovreste già avere una idea di cos'è una relazione, diamo la definizione rigorosa:

(Relazione) una relazione ρ su un insieme A è un sottoinsieme del prodotto cartesiano A×A, in simboli ρ ⊂ A. Per indicare che la coppia (x, y) appartiene a ρ scriviamo x ρ y. In questo caso diciamo che x è in relazione con y secondo ρ.

Ora, questa è una definizione piuttosto formale, che serve a porre la cosa in termini chiari. Intuitivamente invece, quando vediamo scritto x ρ y dobbiamo immaginarci una freccetta parte da x e arriva a y. La relazione è semplicemente l'insieme di tutte le freccette. Se questo punto di vista vi ricorda le funzioni, beh, ci siete molto vicini. Una funzione è solo un tipo particolare di relazione (vedi esercizi).

A noi interessano le relazioni che godono di tre proprietà, e le chiamiamo in un modo particolare

se A è un insieme, una relazione di equivalenza ∼ su A è una relazione per cui

• x ∼ x per ogni x ∈ A (riflessività);
• se x ∼ y allora y ∼ x (simmetria);
• se x ∼ y e y ∼ z, allora x ∼ z (transitività).

Simmetria, riflessività e transitività sono così importanti perché permettono di "affettare" l'insieme, o in gergo tecnico di definire una partizione.