Intorni e assiomi di numerabilità

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In questa lezione analizzeremo un concetto fondamentale in topologia che ci permetterà di caratterizzare in modo classico le applicazioni continue come si è già visto in analisi: gli intorni.

Intorni

Vogliamo ora cercare di dare un concetto di "vicinanza" su uno spazio dove, a priori, non è definita una distanza nel senso solito del termine. L'idea è che possiamo arrivare vicini a un punto se riusciamo ad arrivare ad un aperto che lo contiene. Formalizziamo un po' meglio il concetto.

Definizione

Definizione

Dato $(X,\tau )$ uno spazio topologico e $x$ un suo punto, un intorno di $x$ nella topologia $\tau$ è un insieme $U\subseteq X$ tale che $\exists A\in \tau$ e $x\in A\subseteq U$. Fissata una topologia indicheremo con ${\mathcal {N}}(x):=\{U:U$ è un intorno di $x\}$.

È importante osservare come gli intorni dipendano dalla topologia scelta. Provate per esercizio a scrivere alcuni (o tutti) gli intorni di un punto per uno spazio con la topologia discreta, indiscreta e per lo spazio di Sierpinski.

Proprietà

Dalla definizione di intorno seguono quasi immediatamente le seguenti proprietà:

Proprietà

1. $\forall V\in {\mathcal {N}}(x)\quad x\in V$;
2. $\forall A\subseteq X$ vale che $A\in \tau \ \iff \ A\in {\mathcal {N}}(x)\ \forall x\in A$.

Dimostrazione

1. Segue direttamente dalla definizione di intorno.
2. • $\Rightarrow$: è ovvia;
   • $\Leftarrow$: $\forall y\in A\ \ \exists A_{y}\in \tau \mid y\in A_{y}\subseteq A$. Allora posso scrivere $A=\bigcup _{y\in A}A_{y}$. Poiché gli $A_{y}$ sono aperti, per le proprietà di topologia $A\in \tau$. $\Box$

Esempi

Analizziamo ora qualche esempio di intorno:

1. È banale verificare dalla definizione che dato un punto e un aperto che lo contiene, quell'aperto è anche un suo intorno.
2. Consideriamo ora la retta reale con la topologia euclidea. Ricordiamo che la topologia euclidea su $\mathbb {R}$ è ottenuta considerando come base gli intervalli aperti. Sia ora $x={\sqrt {2}}\in \mathbb {R}$. Allora l'insieme $U={\mathopen {[}}0,3{\mathclose {]}}$ è un intorno di $x$. Infatti esiste un aperto (in questo caso addirittura un aperto della base) contenuto in $U$, per esempio $A={\mathopen {(}}1,2{\mathclose {)}}$, tale che $x\in A\subseteq U$.

3. Ovviamente potrebbe sembrare che ogni sottoinsieme di $\mathbb {R}$ sia intorno di qualche suo punto, ma questo non è vero. Si consideri ad esempio l'insieme di Dirichlet (legato alla più famosa funzione di Dirichlet) ${\mathcal {D}}={\mathopen {[}}0,1{\mathclose {]}}\cap \mathbb {Q}$. Allora per ogni punto di ${\mathcal {D}}$, esso non è intorno di quel punto (si provi per esercizio a dimostrare l'affermazione).
4. Un esempio importante viene dagli intorni negli spazi metrici. In questo caso si può caratterizzare in maniera precisa gli intorni osservando che, se $(X,\tau )$ è uno spazio metrico e $x\in X\quad V\subset X$ allora
   $V\in {\mathcal {N}}(x)\ \iff \ \exists r>0\in \mathbb {R} \ :\ D(x,r)\subset V$

   La verifica di questo fatto è molto semplice ed è lasciata per esercizio

Il concetto di intorno, fino a questo momento, potrebbe sembrare molto astratto e poco "interessante" visto che aggiunge poco al concetto di aperto. Tuttavia vedremo ora un aspetto fondamentale della teoria topologica che si basa proprio sugli intorni.

Assiomi di numerabilità

Definizione

Sia $(X,\tau )$ uno spazio topologico e $x\in X$.

• ${\mathcal {N}}'(x)\subset {\mathcal {N}}(x)$ si dice un sistema fondamentale di intorni di $x$ se

$\forall V\in {\mathcal {N}}(x)\ \exists V'\in {\mathcal {N}}'(x)\ :\ V'\subset V$

• $X$ verifica il primo assioma di numerabilità se per ogni $x\in X$ esiste ${\mathcal {N}}'(x)$ sistema fondamentale di intorni di $x$, tale che $\vert {\mathcal {N}}'(x)\vert =\vert \mathbb {N} \vert$

La numerabilità in topologia è un concetto molto importante. Permette di scegliere tra tutti gli intorni (che possono essere anche moltissimi, di solito comunque più che numerabili) solo un numero relativamente ristretto, senza perdere informazioni utili a livello topologico. Un esempio fondamentale in questo senso è dato dagli spazi metrici. Vale infatti la seguente

Proposizione

Sia $(X,d)$ uno spazio metrico. Allora $X$ verifica il primo assioma di numerabilità.

Dimostrazione

L'idea della dimostrazione è abbastanza elementare; possiamo caratterizzare completamente gli intorni dei punti attraverso i raggi delle palle, e tra tutti questi raggi possiamo scegliere quelli razionali che sono numerabili.

Vediamo di formalizzare questa idea. Vogliamo dimostrare che $\forall x\in (X,d)$ esiste un sistema fondamentale di intorni per $x$ che sia numerabile. Sappiamo già che in uno spazio metrico la topologia che si considera è quella data dalla distanza e quindi che tutti gli intorni contengono una palla aperta che contiene il punto. Mostreremo che per ogni intorno esiste una palla di centro il punto con raggio razionale contenuta nell'intorno.

Sia allora $x\in X$ un punto e $I\subseteq X$ un intorno di $x_{0}$. Per la continuità della distanza esiste

$\delta =\min\{d(x_{0},y):y\notin I\}>0$

che non è altro che la distanza minima di un punto che non sta nell'intorno rispetto a $x_{0}$. Sia ora $r\in \mathbb {Q}$ tale che $0\lneq r\lneq \delta$ (che esiste perché $\mathbb {Q}$ è denso in $\mathbb {R}$). Allora si ha che

$x_{0}\in B(x_{0},r)\subseteq I$

Questo fatto dimostra che per ogni intorno del punto $x_{0}$ esiste una palla di centro il punto e raggio razionale che è contenuta nell'intorno. Allora ${\mathcal {N}}=\{B(x_{0},r):r\in \mathbb {Q} \}$ è un sistema fondamentale di intorni e $\vert {\mathcal {N}}\vert =\vert \mathbb {N} \vert$.

$\Box$

Oltre al primo assioma di numerabilità, in topologia si definisce anche una proprietà più forte che non fa uso del concetto di intorno ma serve a misurare di quanti aperti abbiamo bisogno per avere una descrizione completa della topologia. Si dà infatti la seguente

Definizione

Sia $(X,\tau )$ uno spazio topologico. Si dice che $(X,\tau )$ verifica il secondo assioma di numerabilità se esiste una base ${\mathcal {B}}$ della topologia $\tau$, tale che $\vert {\mathcal {B}}\vert =\vert \mathbb {N} \vert$

In maniera diretta dalla definizione si vede che uno spazio che verifica il secondo assioma di numerabilità soddisfa anche il primo; è infatti sufficiente considerare come sistema fondamentale di intorni per un punto gli aperti di base che contengono il punto scelto e dalla numerabilità della base seguirà la numerabilità del sistema di intorni.