Metriche e Topologie indotte

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Nelle prime due lezioni abbiamo caratterizzato i concetti fondamentali della topologia: topologie, spazi topologici e basi (vedi la prima lezione), aperti e chiusi (vedi la seconda lezione). Tuttavia fino a questo momento i concetti sono restati alquanto astratti. Ora vedremo come tutto il bagaglio di definizioni e concetti si applica in modo naturali agli spazi metrici così importanti nell'analisi. In effetti i primi sviluppi della Topologia, in particolare con il lavoro di Hausdorff, mossero i primi passi proprio all'interno di questa categoria di spazi.

Distanze

Il concetto base degli spazi metrici è la distanza, ovvero una funzione che associa ad ogni coppia di punti un valore che "misura" la loro vicinanza o lontananza. Vediamo ora in dettaglio la definizione formale.

Definizione

Definizione

Dato un insieme $X$, una distanza, o metrica, su $X$ è una funzione $d:X\times X\to {\mathopen {[}}0,+\infty {\mathclose {[}}$ che verifica le seguenti proprietà:

(D1)

$d(x,y)\geq 0$ e

$d(x,y)=0\ \iff \ x=y\ \forall x,y\in X$;

(D2)

$d(x,y)=d(y,x)\ \forall x,y\in X$;

(D3)

$d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)\ \forall x,y,z\in X$;

Uno spazio metrico è una coppia ${\mathopen {(}}X,d{\mathclose {)}}$ dove $X$ è un insieme e $d$ è una distanza su $X$.

Le prime due proprietà sono del tutto naturali. Affermano infatti che due punti sono a distanza zero se e solo se sono lo stesso punto, e che la distanza tra due punti è simmetrica. Analizziamo un attimo in dettaglio la terza proprietà detta disuguaglianza triangolare: essa afferma che per ogni terna di punti la distanza tra due di questi è sempre minore o uguale delle distanze relative dal terzo punto. Per raffigurarci bene la proprietà è utile pensare alle distanze tra punti come alla lunghezza del segmento che ha come estremi i punti stessi. Consideriamo allora tre punti e le loro relative distanze; otterremo una figura come questa:

La proprietà (D3) ci dice che la somma delle lunghezze dei segmenti tratteggiati è sempre maggiore o uguale del segmento nero. In altri termini la somma di due lati del triangolo è sempre maggiore o uguale del terzo lato: questo risultato è noto fin dalla geometria elementare.

Nel momento in cui, per la proprietà (D1), dovesse valere solo la sufficienza (ovvero nel caso in cui anche con $x\not =y$ si possa avere $d(x,y)=0$) ci troveremmo di fronte non più ad una metrica, bensì ad una pseudometrica.

Ora che abbiamo capito le tre proprietà che caratterizzano una distanza vediamone alcuni esempi.

Esempi

Ci sono molti esempi di distanza. Noi ne analizzeremo in particolare due che sono molto importanti rispettivamente in geometria ed in analisi. Se non siete familiari con i concetti sotto esposti potete tranquillamente saltare all'ultimo esempio.

Norme e prodotti scalari

Consideriamo uno spazio vettoriale $V$ su campo reale dove sia definito un prodotto scalare definito positivo (per semplicità potete pensare a $\mathbb {R} ^{n}$ con il prodotto scalare canonico dato da $\langle x,y\rangle =x^{T}\cdot y=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}$). Possiamo allora definire una norma su $V$ data da $\lVert x\rVert :={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$. Si vede facilmente che questa definizione verifica tutte le proprietà di norma.

Allora è possibile definire una distanza su $V$ come $d(\alpha ,\beta )=\lVert \alpha -\beta \rVert$. Le tre proprietà seguono direttamente dalle proprietà della norma. In questo modo qualsiasi spazio euclideo è anche immediatamente uno spazio metrico con la costruzione fatta adesso.

Distanza Euclidea

Possiamo esplicitare la costruzione dell'esempio precedente al caso dello spazio reale$\mathbb {R} ^{n}$. In questo caso la distanza risultante è data da

$d({\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}})={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+\dots +(x_{n}-y_{n})^{2}}}$

Questa distanza prende il nome di distanza euclidea su $\mathbb {R} ^{n}$.

distanza euclidea in $\mathbb {R} ^{2}$

Per raffigurarci meglio il concetto esplicitiamo la distanza euclidea nel caso unidimensionale e bidimensionale (cioè per $n=1,2$). Nel caso unidimensionale, ovvero nella retta reale, otteniamo che

$d(x,y)=\vert x-y\vert$

cioè la distanza tra due punti nella retta reale è pari al valore assoluto della differenza, in altri termini alla lunghezza del segmento che ha come estremi i due punti.

Nel caso bidimensionale, ovvero nel piano reale, otteniamo che

$d({\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}})={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}}}$

cioè esattamente la formula della distanza tra due punti che si è vista nella geometria analitica. Anche in questo caso la distanza è la lunghezza del segmento che ha come estremi i due punti.

Soltanto come approfondimento segnaliamo che si può definire un'analoga distanza euclidea sullo spazio complesso $\mathbb {C} ^{n}$ considerando come prodotto scalare il prodotto hermitiano canonico ovvero $\langle \alpha ,\beta \rangle =\alpha ^{T}{\overline {\beta }}$ dove per ${\overline {\beta }}$ si intende il complesso coniugato di $\beta$.

Distanza discreta

Dato un insieme $X$, la più semplice distanza definibile su $X$ è quella che si chiama la distanza discreta definita come

$d(x,y)={\begin{cases}0\quad {\text{ se }}x=y\\1\quad {\text{ se }}x\neq y\end{cases}}$

è banale verificare che $d$ così definita è una distanza. Per esercizio controllate comunque tutte e tre le proprietà.

Abbiamo fin qui introdotto il concetto di distanza e di spazio metrico. Vi starete ora chiedendo che legame c'è tra queste definizioni, seppur così naturali, e i concetti topologici che ci eravamo promessi di chiarire. In effetti il legame è molto forte e passa dal concetto di topologie indotte.

Topologie indotte

L'idea che sta alla base dei seguenti risultati è che il concetto di vicinanza dato in uno spazio metrico con il concetto di distanza può venire riformulato in senso topologico usando le basi di topologia. Per capire meglio riprendiamo l'esempio sulla topologia euclidea della retta reale vista nella prima lezione.

Intervalli e retta reale

Abbiamo già dimostrato come gli intervalli aperti formino una base per una topologia della retta reale detta topologia euclidea. Vediamo ora come gli intervalli possono essere caratterizzati in modo naturale usando il concetto di distanza.

Un intervallo aperto, nell'intuizione geometrica, sono i punti che sono "compresi" tra due estremi. In effetti però, dati i due estremi, siamo sempre in grado di calcolarci il punto medio del segmento e quindi dell'intervallo. Nella figura seguente dato l'intervallo ${\mathopen {(}}a,b{\mathclose {)}}$ il suo punto medio sarà ${\frac {a+b}{2}}$.

Esempio di punto medio dell'intervallo ${\mathopen {(}}a,b{\mathclose {)}}$

Allora ogni punto di un intervallo aperto avrà distanza dal punto medio minore della metà di quello che si chiama diametro dell'intervallo. Siamo più precisi.

Diametro

Definizione

Dato un intervallo ${\mathopen {(}}a,b{\mathclose {)}}\subset \mathbb {R}$ definiamo diametro dell'intervallo il numero $diam{\mathopen {(}}a,b{\mathclose {)}}=b-a$

Come da intuizione il diametro è la lunghezza del segmento formato dagli estremi dell'intervallo. Allora se consideriamo la distanza euclidea su $\mathbb {R}$ possiamo caratterizzare l'intervallo come

${\mathopen {(}}a,b)=\{x\in \mathbb {R} \mid \max\{d(x,a),d(x,b)\}<diam(a,b)\}$

o analogamente come

${\mathopen {(}}a,b)=\{x\in \mathbb {R} \mid d(x,{\frac {a+b}{2}})<{\frac {diam(a,b)}{2}}\}$

Ovvero l'intervallo è l'insieme dei punti che distano da entrambi gli estremi non più del diametro dell'intervallo.

In effetti se pensiamo $\mathbb {R}$ come uno spazio normato, con la distanza euclidea, vediamo che il diametro non è altro che il $\sup$ delle distanze dei punti dell'intervallo.

Con questa osservazione possiamo generalizzare il concetto di diametro anche a sottospazi qualsiasi di uno spazio metrico. Otterremo allora la seguente

Definizione

Dato $Y\subset (X,d)$ spazio metrico definiamo il diametro di $Y$ come il valore $diamY=\sup\{d(x,y)\mid x,y\in Y\}$.

Topologia e distanza euclidea

Abbiamo visto come gli intervalli possano essere definiti in maniera del tutto metrica utilizzando la distanza. Nella prima lezione avevamo anche visto che gli intervalli formano una base della topologia euclidea. Allo stesso modo allora formeranno una base gli intervalli definiti in maniera metrica, vale quindi la seguente

Proposizione

Dato lo spazio metrico $(\mathbb {R} ,d)$ dove $d$ è la distanza euclidea, la collezione degli insiemi del tipo

$\{x\in \mathbb {R} \mid \max\{d(x,a),d(x,b)\}<diam(a,b)\}$

forma una base per una topologia su $\mathbb {R}$ che coincide con la topologia euclidea.

L'idea dunque è di generalizzare questo risultato a spazi metrici qualsiasi utilizzando i concetti di distanza e di diametro che abbiamo introdotto

Sfere e Dischi

Considereremo ora dei sottoinsiemi definiti in maniera analoga agli intervalli che avranno un ruolo importante nelle successive caratterizzazioni topologiche.

Definizione

Dato $(X,d)$ spazio metrico, $x\in X$ e $r\in {\mathopen {]}}0,+\infty {\mathclose {[}}$ possiamo definire i seguenti insiemi:

• $S(x,r):=\{y\in X\mid d(x,y)=r\}$ detta la sfera di centro $x$ e raggio $r$;
• $D(x,r):=\{y\in X\mid d(x,y)<r\}$ detto il disco aperto di centro $x$ e raggio $r$;
• ${\overline {D}}(x,r):=\{y\in X\mid d(x,y)\leq r\}$ detto il disco chiuso di centro $x$ e raggio $r$.

Vediamo graficamente un esempio che ci chiarisca bene la descrizione formale di questi insiemi.

Sfera, disco aperto e disco chiuso

Già dai nomi che sono stati assegnati a questi particolari insiemi vediamo un'analogia con i concetti topologici. Vorremo ora che come gli intervalli aperti formavano una base per la topologia di $\mathbb {R}$ anche i dischi aperti avessero una simile proprietà. In effetti è proprio così grazie al seguente

Teorema

Teorema

Dato uno spazio metrico $(X,d)$ si ha che

${\mathcal {B}}_{d}:=\{D(x,r)\mid x\in X\ r\in {\mathopen {]}}0,+\infty {\mathclose {[}}\}$

è una base per una topologia $\tau _{d}$ su $X$ detta topologia indotta dalla metrica $d$.

Questo teorema ci dice che dato uno spazio metrico in cui non è definita una topologia, possiamo comunque considerare la struttura di spazio topologico con una topologia data naturalmente dai dischi aperti e che dipende quindi soltanto dalla scelta della distanza su $X$.

Dimostrazione

Devo verificare che l'insieme dei dischi aperti verifica le due proprietà di base.

• (B1) è ovvia perché $\bigcup _{x\in X}D(x,1)=X$ infatti qualunque sia $x$ vale che $x\in D(x,1)$;
• (B2) dobbiamo dimostrare che ogni elemento di una intersezione di dischi aperti è contenuto a sua volta in un disco aperto incluso nell'intersezione. Ovvero dobbiamo verificare che

$\forall x_{1},x_{2}\in X\forall r_{1},r_{2}\geq 0$ vale che $\forall x\in D(x_{1},r_{1})\cap D(x_{2},r_{2})\quad \exists \ y\in X,s\geq 0\mid x\in D(y,s)\subset D(x_{1},r_{1})\cap D(x_{2},r_{2})$

Aiutiamoci con un disegno.

Dalla figura è chiaro che riusciamo a trovare un disco abbastanza "piccolo" da essere contenuto nell'intersezione dei due dischi, a patto che il suo raggio non "sfori" né $A_{1}$ né $A_{2}$. Formalizziamo adesso l'intuizione.

Poniamo $s=\min\{A_{1},A_{2}\}$ dove $A_{1}=r_{1}-d(x_{1},x)$ e $A_{2}=r_{2}-d(x_{2},x)$. Allora banalmente $x\in D(x,s)$. Resta da verificare che $D(x,s)\subset D(x_{1},r_{1})\cap D(x_{2},r_{2})$. Prendiamo un generico punto del disco e facciamo vedere che la sua distanza da $x_{1}$ e $x_{2}$ è minore di $r_{1}$ e $r_{2}$ rispettivamente. Infatti valgono

$d(x_{1},y)\leq d(x_{1},x)+d(x,y)<r_{1}-A_{1}+d(x,y)<r_{1}-A_{1}+s<r_{1}-A_{1}+A_{1}=r_{1}$

$d(x_{2},y)\leq d(x_{2},x)+d(x,y)<r_{2}-A_{2}+d(x,y)<r_{2}-A_{2}+s<r_{2}-A_{2}+A_{2}=r_{2}\quad \Box$

Topologie Metrizzabili

Definizione

Una topologia $\tau$ su un insieme $X$ si dice metrizzabile se esiste una distanza $d$ su $X$ tale che la topologia indotta su $X$ da $d$ coincida con $\tau$.

Un esempio immediato è la topologia euclidea che è metrizzabile e proviene dalla distanza euclidea.

Le topologie metrizzabili sono molto importanti anche nelle applicazioni (per esempio in analisi numerica).

Citiamo qui un teorema fondamentale, di cui omettiamo la dimostrazione, sulle topologie metrizzabili nello spazio reale.

Teorema

In $\mathbb {R} ^{n}$ tutte le metriche inducono la stessa topologia.

Questo teorema è falso se si pensa alla metrica discreta (in cui tutti i sottoinsiemi sono aperti) che di certo non induce una topologia uguale alla topologia euclidea (dedotta invece dalla distanza, appunto, euclidea) nella quale non è vero che tutti i sottoinsiemi sono aperti.