I moduli tecnici

I moduli tecnici precedentemente introdotti hanno un significato fisico ben preciso.

Per comprendere ciò si consideri uno stato di tensione monoassiale, in cui ad esempio agisca solo la tensione $\sigma _{11}$. In questa condizione si ha:

${\begin{cases}\epsilon _{11}={\frac {1}{E}}\sigma _{11}\\\epsilon _{22}=\epsilon _{33}=-{\frac {1}{E}}\nu \sigma _{11}\\\gamma _{12}=\gamma _{13}=\gamma _{23}=0\end{cases}}$

Il modulo $E$, cioè, rappresenta un coefficiente di proporzionalità tra la tensione agente in una direzione e la dilatazione lineare che essa provoca nella sua stessa direzione. Rappresenta, cioè, la capacità che il corpo oppone al tentativo di deformazione offerto dalla tensione considerata, e all'aumentare del suo valore decresce la deformazione sotto una medesima tensione.

Il coefficiente $\nu$ rappresenta il rapporto esistente tra le deformazioni laterali $\epsilon _{22}=\epsilon _{33}$ e la deformazione nella direzione della tensione applicata. Esso rappresenta, in pratica, la capacità che il corpo ha di opporsi all'espansione o alla contrazione laterale. All'aumentare del suo valore si ha un aumento delle deformazioni laterali.

Si consideri ora uno stato tensionale in cui agisca solo una tensione $\tau _{12}$. In questo caso l'unica componente di deformazione presente è:

$\gamma _{12}={\frac {1}{G}}\tau _{12}$

Il modulo $G$, cioè, rappresenta il corrispettivo per le tensioni tangenziali del modulo $E$, ed è dunque la capacità che il corpo ha di opporsi agli scorrimenti.

Correlazioni tra i moduli tecnici

I moduli tecnici, in realtà, non sono indipendenti tra loro: noti due di essi, è possibile derivare la conoscenza del terzo.

Per dimostrare questa asserzione si considerino le relazioni di elasticità trovate in precedenza riferite a due deformazioni lineari generiche, di normali $\mathbf {n} ;\mathbf {m}$ e supponendo ad esempio che l'altra normale coincida con la direzione $y_{3}$:

${\begin{cases}\epsilon _{n}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{n}-\nu (\sigma _{m}+\sigma _{33})\right]\\\epsilon _{m}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{m}-\nu (\sigma _{n}+\sigma _{33})\right]\end{cases}}$

Sottraendo i termini si ottiene:

$\epsilon _{n}-\epsilon _{m}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{n}-\nu (\sigma _{m}+\sigma _{33})\right]-{\frac {1}{E}}\left[\sigma _{m}-\nu (\sigma _{n}+\sigma _{33})\right]$

Da cui:

$E(\epsilon _{n}-\epsilon _{m})=\sigma _{n}-\nu (\sigma _{m}+\sigma _{33})-\sigma _{m}+\nu (\sigma _{n}+\sigma _{33})\to$

$\to E(\epsilon _{n}-\epsilon _{m})=(1+\nu )(\sigma _{n}-\sigma _{m})$

Si supponga ora che le direzioni considerate coincidano con le bisettrici del piano $y_{1},y_{2}$, per cui caratterizzate dai coseni direttori $n_{1}={\sqrt {2}}/2;n_{2}={\sqrt {2}}/2;n_{3}=0;m_{1}=-{\sqrt {2}}/2;m_{2}={\sqrt {2}}/2;m_{3}=0$. Essendo $\epsilon _{n}=\sum _{i,k=1}^{3}\epsilon _{ik}n_{i}n_{k}$ si ottiene:

${\begin{matrix}\epsilon _{n}={\frac {\epsilon _{1}}{2}}+{\frac {\epsilon _{2}}{2}}+{\frac {\gamma _{12}}{2}}\\\epsilon _{m}={\frac {\epsilon _{1}}{2}}+{\frac {\epsilon _{2}}{2}}-{\frac {\gamma _{12}}{2}}\end{matrix}}$

Sottraendo membro a membro:

$\epsilon _{n}-\epsilon _{m}=\gamma _{12}$

Agendo in maniera analoga si può ottenere:

$\sigma _{n}-\sigma _{m}=2\tau _{12}$

Si può, dunque, scrivere:

$E(\epsilon _{n}-\epsilon _{m})=(1-\nu )(\sigma _{n}-\sigma _{m})\to E\gamma _{12}=2(1+\nu )\tau _{12}\to G={\frac {E}{2(1+\nu )}}$

Di conseguenza, le costanti elastiche indipendenti nel caso di materiale iperelastico lineare omogeneo e isotropo si riducono a due.

Valori dei moduli tecnici

I moduli tecnici, tuttavia, non possono assumere valori qualsiasi. I limiti imposti ai loro valori si deducono direttamente dalla definizione di energia di deformazione, e dalla considerazione fatta della sua necessaria positività. Esprimendola in termini di tensioni principali si ottiene:

$\phi ={\frac {1}{2E}}(s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+s_{3}^{2})-{\frac {\nu }{E}}(s_{1}s_{2}+s_{1}s_{3}+s_{2}s_{3})$

La positività di questa equazione può essere studiata attraverso la positività della matrice associata:

${\begin{bmatrix}{\frac {1}{E}}&-{\frac {\nu }{E}}&-{\frac {\nu }{E}}\\-{\frac {\nu }{E}}&{\frac {1}{E}}&-{\frac {\nu }{E}}\\-{\frac {\nu }{E}}&-{\frac {\nu }{E}}&{\frac {1}{E}}\end{bmatrix}}$

Senza entrare nei dettagli matematici, la risoluzione del problema porta a definire i seguenti limiti teorici:

${\begin{cases}E>0\\G>0\\-1<\nu <{\frac {1}{2}}\end{cases}}$

Si fa notare che un valore di $\nu$ negativo corrisponde ad una situazione in cui un corpo in trazione si espande lateralmente e viceversa un corpo in compressione. Questo fatto, per quanto teoricamente possibile, è controintuitivo e nelle applicazioni pratiche, da riscontri con i dati sperimentali, si preferisce fornire la limitazione che:

$0<\nu <{\frac {1}{2}}$

Nota:
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