L'isotropia del materiale elastico

Quanto detto finora è sempre stato riferito ad un intorno del punto considerato. Per risolvere il problema elastico, tuttavia, sono necessarie informazioni riguardanti le caratteristiche proprie dell'intero corpo.

Se si suppone che le caratteristiche del materiale di cui è costituito il corpo e la densità di quest'ultimo si mantengano costanti per tutti i punti del corpo stesso, quest'ultimo si definisce omogeneo

Una tappa fondamentale attraverso la comprensione della risposta statica del corpo è chiedersi se una rotazione rigida del sistema di riferimento abbia una qualche influenza sulle relazioni esistenti tra deformazioni e tensioni. In linea generale nell'ambito della scienza delle costruzioni si è soliti supporre l'isotropia del materiale, la quale presuppone l'invarianza delle relazioni costitutive rispetto a qualsiasi rotazione arbitraria del sistema di riferimento: in pratica il materiale si comporta ugualmente in tutte le direzioni uscenti dal punto considerato.

Nel caso in cui il materiale si ipotizzi isotropo è possibile dedurre quanto segue.

Si consideri una rotazione del sistema di riferimento originario $(O,y_{1},y_{2},y_{3})$ ad esempio nel piano di normale $y_{3}$ fino a formare un nuovo sistema di riferimento $(O,y_{1}',y_{2}',y_{3})$. Chiamando $\theta$ che l'asse $y_{1}'$ forma con l'asse $y_{1}$, i versori del nuovo sistema di riferimento sono:

${\begin{cases}i_{1}'=i_{1}\cos \theta +i_{2}\sin \theta \\i_{2}'=-i_{1}\sin \theta +i_{2}\cos \theta \\i_{3}'=i_{3}\end{cases}}$

Si supponga di operare una trasformazione del sistema di riferimento tale che sia $y_{i}'=-y_{i}$. In base a quanto detto riguardo alla deformazione nella teoria infinitesima, le componenti $\epsilon _{ij}$ del tensore di deformazione sono pari a:

$\epsilon _{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\delta v_{i}}{\delta y_{j}}}+{\frac {\delta v_{j}}{\delta y_{i}}}\right)$

Per effetto della variazione di segno di $y_{i}$ o $v_{i}$, gli elementi ad indici diversi cambiano di segno mentre quelli ad indici uguali restano invariati. Per effetto della variazione del sistema di riferimento, cioè, il tensore della deformazione diventa:

$[E]={\begin{bmatrix}\epsilon _{11}&-\epsilon _{12}&-\epsilon _{13}\\-\epsilon _{21}&\epsilon _{22}&-\epsilon _{23}\\-\epsilon _{31}&-\epsilon _{32}&\epsilon _{33}\end{bmatrix}}$

Tuttavia, per garantire la costanza dell'energia specifica di deformazione per entrambi i sistemi di riferimento deve essere:

$\phi ={\frac {1}{2}}\sum _{i,k,j,h=1}^{3}A_{ikjh}\epsilon _{jh}\epsilon _{ik}={\frac {1}{2}}\sum _{i,k,j,h=1}^{3}A_{ikjh}\epsilon _{jh}'\epsilon _{ik}'$

Per il verificarsi di questa uguaglianza è naturalmente necessario che si annullino tutti i termini che cambiano segno nel passaggio da un sistema di riferimento all'altro. Per le coppie di $\epsilon _{ik}\epsilon _{jh}$ che cambiano segno, il corrispettivo valore di $A_{ikjh}$ deve essere nullo, in modo che complessivamente i termini che cambiano segno al cambiare del sistema di riferimento siano nulli e sia verificata di conseguenza l'uguaglianza di cui sopra. Si può dimostrare che i termini citati sono quelli in cui accade sia che $i\neq k$ sia che $ik\neq jh$. Di conseguenza le componenti indipendenti e diverse da zero del tensore $A$ diventano nove: $A_{1111};A_{1122}=A_{2211};A_{1133}=A_{3311};A_{2222};A_{2233}=A_{3322};A_{3333};A_{1212}=A_{2121};A_{1313}=A_{3131};A_{2323}=A_{3232}$

Quanto finora trattato è valido anche per i materiali cosiddetti ortotropi, definito come quel materiale per cui il legame costitutivo non cambia in seguito alla "riflessione" del sistema di riferimento rispetto a uno dei tre piani di simmetria, naturalmente considerando che come sistema di riferimento si sia scelto proprio quello conforme a tali piani.

Le relazioni tra tensioni e deformazioni, dunque, possono essere espresse nel modo seguente:

${\begin{cases}\sigma _{ii}=A_{iiii}\epsilon _{ii}+A_{iijj}\epsilon _{jj}+A_{iikk}\epsilon _{kk}\\\tau _{ij}=A_{ijij}\epsilon _{ij}\end{cases}}$

${\begin{cases}\epsilon _{ii}=C_{iiii}\sigma _{ii}+C_{iijj}\sigma _{jj}+C_{iikk}\sigma _{kk}\\\epsilon _{ik}=C_{ikik}\tau _{ik}\end{cases}}$

Per il materiale isotropo si supponga di ruotare gli assi in modo che il sistema di riferimento finale possa trovarsi per permutazione ciclica degli indici degli assi del riferimento di partenza (in modo tale, cioè, che sia $y_{1}'\equiv y_{2};y_{2}'\equiv y_{3};y_{3}'\equiv y_{1}$). Per cui devono essere soddisfatte le relazioni $\sigma _{11}'=\sigma _{22};\sigma _{22}'=\sigma _{33};\sigma _{33}'=\sigma _{11};\tau _{12}'=\tau _{23};\tau _{23}'=\tau _{13};\tau _{12}'=\tau _{23}$. Di conseguenza, tenendo conto delle relazioni precedenti, deve essere:

${\begin{cases}A_{1111}=A_{2222}=A_{3333}=A\\A_{1122}=A_{1133}=A_{2233}=B\\A_{1212}=A_{1313}=A_{2323}=C\end{cases}}$

Analogamente, considerando il tensore $C$, si ha:

${\begin{cases}C_{1111}=C_{2222}=C_{3333}=a\\C_{1122}=C_{1133}=C_{2233}=b\\C_{1212}=C_{1313}=C_{2323}=c\end{cases}}$

Nella pratica tecnica si è soliti porre:

${\begin{cases}a={\frac {1}{E}}\\b=-{\frac {\nu }{E}}\\c={\frac {1}{G}}\end{cases}}$

Le quantità che compaiono si definiscono:

• modulo di elasticità longitudinale $E$, che ha le dimensioni di una tensione;
• coefficiente di contrazione laterale di Poisson $\nu$, adimensionale;
• modulo di elasticità trasversale $G$, che la dimensioni di una tensione.

Con questi moduli tecnici la legge costitutiva del materiale assume la forma seguente, che è la forma classica con cui essa si presenta, valida per tutti i materiali linearmente iperelastici, omogenei e isotropi:

${\begin{cases}\epsilon _{11}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{11}-\nu (\sigma _{22}+\sigma _{33})\right]\\\epsilon _{22}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{22}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{33})\right]\\\epsilon _{33}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{33}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{22})\right]\\\gamma _{12}={\frac {1}{G}}\tau _{12}\\\gamma _{13}={\frac {1}{G}}\tau _{13}\\\gamma _{23}={\frac {1}{G}}\tau _{23}\end{cases}}$

Con riferimento al materiale iperelastico, omogeneo e isotropo, è importante osservare che le direzioni principali della deformazione e della tensione coincidono, e questa coincidenza può essere facilmente constatata osservando i legami precedenti: considerando una delle direzioni principali della deformazione (ad esempio la direzione 1), infatti, lo scorrimento mutuo con un'altra direzione principale (ad esempio 2) è per definizione nullo; in base al legame precedente, tuttavia, è nulla anche la tensione tangenziale agente sul piano avente come normale la prima delle direzioni principali considerate (1) e con verso concorde all'altra direzione principale (2); ugualmente si può affermare con l'altra direzione principale (3); quindi la direzione principale inizialmente considerata (1) è principale anche per la tensione, e facendo analoghe considerazioni con le altre due direzioni si arriva a concludere la coincidenza delle direzioni principali della deformazione e della tensione.

Se il materiale non avesse le caratteristiche citate, invece, tale coincidenza non esisterebbe: con una legge costitutiva generica, infatti, la tensione normale in una direzione influenza anche gli scorrimenti mutui; d'altronde un materiale disomogeneo presenta discontinuità di comportamento in ogni suo punto, ma tale condizione non influenza la situazione in analisi; un materiale anisotropo, infine, porterebbe alle medesime conseguenze della non iperelasticità del materiale, dal momento che in generale una tensione in una direzione, a causa della differenza di comportamento del materiale in funzione della giacitura in cui è applicata, ha effetto anche sugli scorrimenti mutui.