I Sistemi di Equazioni (superiori)

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I Sistemi di Equazioni (superiori)
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Matematica per le superiori 3
Avanzamento Avanzamento: lezione completa al 100%

Equazione lineare in due incognite

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DEFINIZIONE 1. Una equazione di primo grado (in   incognite) si chiama equazione lineare.

Problema: Determinare due numeri naturali la cui somma sia 16.

Soluzione L’ambiente del problema è l’insieme   dei numeri naturali. Indicati con   e   i due numeri richiesti dal quesito, il problema si formalizza con l’equazione  , equazione in due incognite, di primo grado.

Determiniamo l’Insieme Soluzione del problema proposto. L’obiettivo è trovare   e   tali che   oppure  . Le coppie di numeri naturali che sono soluzioni dell’equazione sono facilmente determinabili e sono tutte quelle riportate nella tabella seguente.

  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
  16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

L’Insieme Soluzione del problema posto è dunque formato dalle 17 coppie di numeri naturali sopra elencate. Riformuliamo il problema cercando coppie di numeri razionali la cui somma sia 16. In simboli scriviamo   e   tali che   oppure  .

Possiamo subito dire che tutte le coppie precedenti sono soluzione del problema, ma ce ne sono infinite altre, ad esempio la coppia   è soluzione del problema perché sostituendo a   il valore   e a   il valore   si ha  . Dal procedimento si capisce che anche la coppia   è soluzione del problema perché  .

Se attribuiamo un valore arbitrario a  , l’altro elemento della coppia soluzione si può ottenere sottraendo da 16 il valore di  :  .

Completa tu:

  • se   allora   e la coppia (…; …) è soluzione dell’equazione;
  • se   allora  , la coppia (……; ……) è soluzione dell’equazione;
  • se   allora   ………, la coppia (……; ……) è soluzione dell’equazione;
  • se  allora   ………, la coppia (……; ……) è soluzione dell’equazione.

Quindi, se l’ambiente del problema è l’insieme  , troviamo infinite coppie di numeri razionali che soddisfano il problema. E ancora, se formuliamo il problema nell’insieme dei numeri reali  , troveremo tutte le infinite coppie soluzione del problema: basta assegnare all’incognita   valori reali arbitrari e determinare di conseguenza il corrispondente valore di  .

Se  , quindi la coppia   è soluzione dell’equazione.

Completa:

  • se   allora  
  • se   allora  

|}

DEFINIZIONE 2. Si chiama Insieme Soluzione   di un’equazione di primo grado in due incognite   e  , l’insieme delle coppie ordinate di valori che sostituiti rispettivamente a   e a   rendono vera l’uguaglianza.

Rappresentazione di un’equazione lineare sul piano cartesiano

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Esempio: Determinare l’insieme soluzione dell’equazione   con   e  .

Osserviamo che l’equazione assegnata ha due incognite ed è di primo grado; l’insieme soluzione sarà formato dalle infinite coppie ordinate   di numeri tali che  .

Possiamo verificare che la coppia   è soluzione dell’equazione, ma come facciamo a determinare tutte le coppie che soddisfano quella equazione?

Fissiamo l’attenzione sull’incognita  , pensiamo l’equazione come un’equazione nella sola  , ricaviamo   come abbiamo fatto nelle equazioni di primo grado ad una sola incognita, applicando i principi di equivalenza delle equazioni:

 

Dunque, al variare di   in  , si ottengono tutte le infinite soluzioni dell’equazione assegnata. Prova a determinarne alcune:

    coppia
    ( )
    ( )
    ( )
In verità non possiamo elencare tutte le infinite coppie che risolvono quella equazione, ma possiamo darne una rappresentazione grafica.
 
Gli assi cartesiani

La formula

 

rappresenta una funzione lineare; riportiamo le coppie trovate in un riferimento cartesiano ortogonale e tracciamo la retta che rappresenta la funzione.

Una qualunque equazione lineare   ammette infinite soluzioni, costituite da coppie ordinate di numeri reali; esse sono le coordinate cartesiane dei punti della retta grafico della funzione  . La formula   si chiama equazione esplicita della retta. |}


ESEMPIO 1. Risolvi graficamente l’equazione  .

 
y+2/3 x-2=0 Risoluzione grafica

L’equazione assegnata è in due incognite, di primo grado, è cioè una equazione lineare. Nel riferimento cartesiano ortogonale essa rappresenta una retta.

Troviamo l’equazione esplicita della retta:

 

Individuiamo l’ordinata del punto di intersezione della retta con l’asse  :  , quindi   è un punto della retta.

Troviamo un altro punto appartenente alla retta: se   allora  , quindi   è un punto della retta.

Disegniamo la retta nel piano cartesiano: le coppie  , coordinate dei punti della retta tracciata, sono le infinite soluzioni dell’equazione assegnata.

Risoluzione di sistemi di equazioni lineari

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PROBLEMA 1.

 
Un rettangolo

Nel rettangolo  , la somma del doppio di   con la metà di   è di  ; aumentando   di   e   di  , il perimetro del rettangolo diventa di  . Determinare l’area in   del rettangolo.

Dati:  

Obiettivo: Area

Soluzione Per determinare l’area del rettangolo dobbiamo moltiplicare le misure delle sue dimensioni   che però non conosciamo; il problema ha quindi due incognite.

Analizzando i dati possiamo osservare che ci sono fornite due informazioni che legano le grandezze incognite. Se poniamo   e   otteniamo le due equazioni:

 

che dovranno risultare soddisfatte per una stessa coppia di numeri reali.

DEFINIZIONE 3. Si definisce sistema di equazioni l’insieme di più equazioni, in due o più incognite, che devono essere verificate contemporaneamente. La scrittura formale si ottiene raggruppando le equazioni mediante una parentesi graffa.

Analizzeremo in particolare i sistemi in due equazioni e due incognite.

DEFINIZIONE 4. L’Insieme Soluzione ( ) di un sistema di equazioni in due incognite è formato da tutte le coppie di valori che rendono contemporaneamente vere tutte le equazioni del sistema.

DEFINIZIONE 5. Si chiama grado di un sistema il prodotto dei gradi delle equazioni che lo compongono. In particolare, se le equazioni che lo compongono sono di primo grado, il sistema si chiama sistema lineare.

La forma normale o canonica di un sistema lineare è:

 

Il problema precedente si formalizza dunque con il sistema

 

composto da due equazioni in due incognite di primo grado e pertanto il suo grado è 1 (è un sistema lineare). La sua forma canonica si ottiene sviluppando i calcoli nella seconda equazione

 

Procedimento per ottenere la forma canonica di un sistema

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La forma canonica di un sistema lineare di due equazioni in due incognite è, come abbiamo visto,

 

con  ,  ,  ,  ,   e   numeri reali.


ESEMPIO 2. Scrivere in forma canonica il sistema:

 

Eseguiamo i calcoli nella prima equazione e riduciamo allo stesso denominatore la seconda equazione:

 

Per mezzo del primo principio di equivalenza delle equazioni portiamo le incognite al primo membro e sommiamo i termini simili, ottenendo

 }}

che è la forma canonica cercata.

Metodo di sostituzione

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Risolvere il sistema significa determinare tutte le coppie di numeri reali che soddisfano contemporaneamente le due equazioni.

Analizziamo i diversi metodi che permettono di ottenere l’Insieme Soluzione, cominciamo dal metodo di sostituzione.


ESEMPIO 3.  .

Il sistema si presenta già in forma canonica. Il metodo di sostituzione si svolge nei seguenti passi:

Passo I scegliamo una delle due equazioni e una delle due incognite da cui partire. Applicando i principi d’equivalenza delle equazioni, ricaviamo questa incognita. Nel nostro esempio, partiamo dalla prima equazione e ricaviamo l’incognita  

 

Passo II sostituiamo nella seconda equazione, al posto dell’incognita trovata, l’espressione a cui essa risulta uguale dalla prima equazione. Nel nostro esempio abbiamo

 

Passo III svolgiamo i calcoli nella seconda equazione. Nel nostro esempio

 

Passo IV risolviamo la seconda equazione, che ora è un’equazione di primo grado in una sola variabile. Nel nostro esempio, ricaviamo   dalla seconda equazione

 

Passo V sostituiamo nella prima equazione il valore numerico dell’incognita trovata e avremo un’equazione di primo grado nell’altra incognita. Risolviamo quest’ultima equazione. Nel nostro esempio

 

Passo VI possiamo ora scrivere l’insieme soluzione. Nel nostro esempio  .

In conclusione, il sistema è determinato, la coppia ordinata   verifica contemporaneamente le due equazioni del sistema.

ESEMPIO 4.  

  1. Il sistema non si presenta nella forma canonica. Svolgiamo i calcoli e portiamo il sistema in forma canonica:

 

  1. ricaviamo   dalla seconda equazione:

 

  1. abbiamo fatto questa scelta perché possiamo ottenere il valore di   con facilità e senza frazioni. Sostituiamo nella prima equazione al posto di   l’espressione trovata:

 

  1. risolviamo la prima equazione che è di primo grado nella sola incognita  :

 

  1. sostituiamo il valore di   nella seconda equazione:

 Possiamo scrivere l’insieme delle soluzioni:

 

In conclusione, il sistema è determinato; la coppia ordinata   verifica contemporaneamente le due equazioni del sistema.

ESEMPIO 5.  

Il sistema è fratto poiché in ciascuna equazione compare l’incognita al denominatore; per poter applicare il secondo principio di equivalenza delle equazioni eliminando i denominatori, dobbiamo porre le   e individuare il Dominio   del sistema assegnato, cioè l’insieme in cui si troverà   per cui  .

Portiamo a forma canonica applicando i principi di equivalenza delle equazioni:

 

Applichiamo il metodo di sostituzione:

 

La soluzione (− 1 ; − 3) è compatibile con le condizioni di esistenza.

Metodo del confronto

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ESEMPIO 6.  

Passo I ricaviamo da entrambe le equazioni la stessa incognita. Nel nostro esempio ricaviamo la   contemporaneamente da entrambe le equazioni:

 

Passo II poiché il primo membro delle equazioni è lo stesso, possiamo uguagliare anche i secondi membri, ottenendo un’equazione in una incognita. Nell’esempio  

Passo III risolviamo l’equazione trovata e determiniamo il valore di una delle due incognite. Nel nostro esempio .

Passo IV si sostituisce il valore trovato dell’incognita in una delle due equazioni e ricaviamo l’altra incognita. Nel nostro esempio:

 

Passo V possiamo ora scrivere l’insieme soluzione. Nel nostro esempio:  .

In conclusione, il sistema è determinato, la coppia ordinata   verifica contemporaneamente le due equazioni del sistema.


Metodo di riduzione

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Il metodo di riduzione si basa sulla seguente osservazione: se un sistema è formato dalle equazioni   e  , possiamo dedurre da queste la nuova equazione   ad esse equivalente.

  L’equazione ottenuta potrebbe presentarsi in una sola incognita e quindi potrebbe essere facile trovare il valore di quella incognita.


ESEMPIO 7.  

Sommando membro a membro le due equazioni otteniamo  . I termini in   si eliminano perché opposti. Sommando i monomi simili si ha  .


Questo metodo, applicato semplicemente sommando membro a membro le equazioni, funziona solo se i coefficienti di una delle due incognite sono opposti. Solo in questo caso sommando le equazioni una delle due incognite “sparisce”. Tuttavia con qualche accorgimento è possibile applicarlo in ogni caso.

Sfruttiamo il secondo principio di equivalenza delle equazioni che ci permette di moltiplicare ambo i membri di un’equazione per uno stesso numero diverso da zero. In questo modo possiamo sempre trasformare le due equazioni affinché l’incognita   appaia con coefficienti opposti nella prima e nella seconda equazione.


ESEMPIO 8.  

Nel nostro esempio possiamo moltiplicare la prima equazione per   e la seconda per  , ottenendo:

 

sommando membro a membro abbiamo  

Dopo aver determinato il valore di una incognita possiamo sostituirlo in una qualsiasi equazione del sistema e determinare il valore dell’altra incognita o ripetere il procedimento per l’altra incognita moltiplicando come segue:

  Sommando le due equazioni otteniamo  .

Abbiamo così determinato la coppia soluzione del sistema  .

Generalizzazione del metodo di riduzione

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Assegnato il sistema lineare   con  ,  ,  ,  ,  ,   numeri reali.

Passo I per eliminare   moltiplichiamo la prima equazione per   e la seconda per  :

 

Passo II sommiamo le due equazioni:

 

Passo III ricaviamo l’incognita  :

 

Passo IV per eliminare   moltiplichiamo la prima equazione per   e la seconda per  :  

Passo V sommiamo le due equazioni

 

Passo VI ricaviamo l’incognita  :

 

La soluzione è

 

Metodo di Cramer

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DEFINIZIONE 6. Si chiama matrice del sistema lineare di due equazioni in due incognite la tabella

  in cui sono sistemati i coefficienti delle incognite del sistema posto in forma canonica; si chiama determinante della matrice il numero reale

  ad essa associato.

Dalla generalizzazione del metodo di riduzione, abbiamo visto che la soluzione del sistema è data da

 

ovvero

  quindi possiamo dedurre che: un sistema lineare è determinato, ammette cioè una sola coppia soluzione, se il determinante della matrice del sistema è diverso da zero.

La regola di Cramer[1] (o metodo do Cramer) ci permette di stabilire la coppia soluzione di un sistema lineare di due equazioni in due incognite, costruendo e calcolando tre determinanti:

  1.   il determinante della matrice del sistema:

 

  1.   il determinante della matrice ottenuta sostituendo agli elementi della prima colonna di   i termini noti.

 

  1.   il determinante della matrice ottenuta sostituendo agli elementi della seconda colonna di   i termini noti.

 

Se   il sistema è determinato e la coppia soluzione è

 


ESEMPIO 9.  .

Calcoliamo i determinanti  ,   e  .

 

Poiché   il sistema è determinato.

 

 

 

Classificazione dei sistemi rispetto alle soluzioni

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Dato un sistema in forma canonica   ricordando che:

 

  • se   il sistema è determinato: esiste una sola coppia soluzione  ;
  • se   si possono verificare due casi:
    • 1° caso: se   e   il sistema è indeterminato: ogni coppia di numeri reali che verifica un’equazione, verifica anche l’altra;
    • 2° caso: se   e   il sistema è impossibile: non esiste alcuna coppia di valori che soddisfa entrambe le equazioni, cioè  .

ESEMPIO 10.  

  il sistema è determinato.

ESEMPIO 11.  

  il sistema è indeterminato o impossibile.

 

Il sistema è indeterminato.

ESEMPIO 12.  

  il sistema è indeterminato o impossibile.

 

Il sistema è impossibile.


Osserviamo che se   si ha

 

Ciò significa che, se i coefficienti delle incognite della prima equazione sono proporzionali ai coefficienti delle incognite della seconda equazione allora il sistema è indeterminato o impossibile.

In particolare, se poi   si ha

 

Quindi se anche i termini noti delle due equazioni sono nella stessa proporzione, cioè se

  il sistema è indeterminato.

Se invece  , cioè

  il sistema è impossibile.

Il metodo grafico

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Il problema della ricerca dell’Insieme Soluzione di un’equazione lineare ci ha condotto ad un proficuo collegamento tra concetti algebrici e concetti geometrici; in particolare abbiamo visto che:

Concetto algebrico Concetto geometrico
Coppia ordinata di numeri reali Punto del piano dotato di riferimento cartesiano
Equazione lineare Retta
Coppia soluzione dell’equazione Punto della retta di equazione
   

Vedremo ora come sia possibile sfruttare questi collegamenti per risolvere un sistema lineare di due equazioni in due incognite.

PROBLEMA 1. Determina due numeri reali di cui si sa che la loro somma è 6 e il doppio del primo aumentato della metà del secondo è ancora 6.

Soluzione Indichiamo con   e   i due numeri incogniti; il problema si formalizza con due equazioni:   e  .

Dobbiamo individuare una coppia di numeri reali che sia soluzione dell’una e dell’altra equazione.

Il punto di vista algebrico La coppia di numeri reali   e   che risolve il problema è quella che risolve il sistema

  Applicando uno qualunque dei metodi algebrici esposti si ottiene   e  .

Il punto di vista geometrico Il problema si può spostare in ambiente geometrico: la coppia soluzione rappresenta un punto che appartiene sia alla retta rappresentata dalla prima equazione, sia alla retta rappresentata dalla seconda equazione. Quindi rappresenta il punto di intersezione delle due rette.

Si rappresenta il sistema di rette nel riferimento cartesiano ortogonale. La retta   è quella di equazione  , che passa per i punti   e  .

La retta   è quella di equazione  , che passa per i punti   e  .

Il punto   è il punto di intersezione delle due rette, le sue coordinate formano la coppia soluzione del sistema e di conseguenza sono i due numeri che stiamo cercando nel problema.

 
Soluzione grafica di sistema lineare determinato

ESEMPIO 13.  

Il punto di vista algebrico Portiamo in forma canonica il sistema, ottenendo:

 

Si può notare che il sistema ha i coefficienti delle incognite in proporzione:

  mentre i termini noti non sono nella stessa proporzione

  quindi il sistema è impossibile:  .

 
Soluzione grafica di sistema lineare impossibile

Il punto di vista geometrico Determiniamo le equazioni esplicite delle rette rappresentate dalle due equazioni lineari del sistema assegnato. Si ha:  }}

Le due rette nella figura hanno lo stesso coefficiente angolare (il coefficiente della  ) e quindi hanno la stessa inclinazione, pertanto sono parallele. Non hanno quindi nessun punto di intersezione  , il sistema è impossibile:  .

ESEMPIO 14.  

Il punto di vista algebrico Scriviamo in forma canonica il sistema  .

Osserviamo che sono due equazioni identiche, pertanto il rapporto tra i coefficienti delle incognite e il rapporto tra i termini noti è sempre 1. Il sistema è indeterminato. D’altra parte, se le due equazioni sono identiche significa che tutte le infinite coppie   che rendono vera la prima equazione, verificano anche la seconda.

 
Soluzione grafica di sistema lineare indeterminato

Il punto di vista geometrico Rappresentiamo nel riferimento cartesiano ortogonale le due rette aventi come equazioni le equazioni del sistema. È semplice rendersi conto che le due rette coincidono; tutti i punti di una coincidono con tutti i punti dell’altra:  .

Sistemi frazionari o fratti

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Nel seguente sistema

  di due equazioni in due incognite, la prima equazione presenta le incognite anche al denominatore.

DEFINIZIONE 7. Si chiama sistema frazionario o fratto un sistema in cui almeno in una delle equazioni che lo compongono compare l’incognita al denominatore. }}

Poiché risolvere un sistema significa determinare tutte le coppie ordinate che verificano entrambe le equazioni, nel sistema fratto dovremo innanzi tutto definire il Dominio o Insieme di Definizione nel quale individuare le coppie soluzioni.

DEFINIZIONE 8. Si chiama Dominio ( ) o Insieme di Definizione ( ) del sistema fratto, l’insieme delle coppie ordinate che rendono diversi da zero i denominatori che compaiono nelle equazioni.


ESEMPIO 15.  

Passo I Scomponiamo i denominatori nella prima equazione per determinare il  .

 

Passo II Poniamo le Condizioni di Esistenza da cui determineremo il Dominio del sistema:

 

Passo III Riduciamo allo stesso denominatore la prima equazione e svolgiamo i calcoli nella seconda per ottenere la forma canonica:  

Passo IV Risolviamo il sistema e otteniamo la coppia soluzione   che è accettabile. }}

ESEMPIO 16.  

Passo I Per la prima equazione si ha  ; per la seconda  .

Passo II Poniamo le Condizioni di Esistenza da cui determineremo il Dominio:

 

Passo III Riduciamo allo stesso denominatore sia la prima che la seconda equazione:

 

Passo IV Scriviamo il sistema in forma canonica:

 

Passo V Determiniamo con un qualunque metodo la coppia soluzione   che non è accettabile poiché contraddice la   e quindi non appartiene al dominio  . Il sistema assegnato è quindi impossibile  .

Sistemi letterali

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DEFINIZIONE 9. Si chiama sistema letterale il sistema in cui oltre alle incognite, solitamente indicate con   e  , compaiono altre lettere, dette parametri.

Distinguiamo tre casi distinti di discussione.

Le equazioni sono lineari e il parametro si trova solo al numeratore

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Esempio:  

È un sistema letterale in quanto, reso in forma canonica, presenta un parametro nei suoi coefficienti. Esso è lineare, pertanto la coppia soluzione, se esiste, dipenderà dal valore del parametro.

Per discussione del sistema letterale s’intende l’analisi e la ricerca dei valori che attribuiti al parametro rendono il sistema determinato (in tal caso si determina la soluzione) ma anche scartare i valori del parametro per cui il sistema è impossibile o indeterminato. Per discutere il sistema usiamo il metodo di Cramer.

Passo I Calcoliamo il determinante del sistema:

 

Passo II Determiniamo il valore del parametro che rende   diverso da zero:  . Quindi se   il sistema è determinato.

Passo III Calcoliamo i determinanti   e   per trovare la coppia soluzione.

  Quindi   e  .

Passo IV Il determinante è nullo se  ; poiché per questo valore di   i determinanti   e   sono diversi da zero si ha che per   il sistema è impossibile.

Riassumendo si ha:

Condizioni sul parametro Insieme Soluzione Sistema
    determinato
    impossibile

Il parametro compare al denominatore in almeno una equazione del sistema

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Esempio:  

Il sistema non è fratto pur presentando termini frazionari nelle sue equazioni; la presenza del parametro al denominatore ci obbliga ad escludere dall’insieme   quei valori che annullano il denominatore. Se   oppure   ciascuna equazione del sistema è priva di significato, pertanto lo è anche il sistema. Con le condizioni di esistenza   e   possiamo ridurre allo stesso denominatore ciascuna equazione e condurre il sistema alla forma canonica:

 

Passo I Calcoliamo il determinante del sistema:  

Passo II Determiniamo il valore del parametro che rende   diverso da zero:  . Quindi se   il sistema è determinato.

Passo III Calcoliamo i determinanti   e   per trovare la coppia soluzione:

  Quindi   e   che, semplificando divenano  .

Passo IV Il determinante è nullo se  ; poiché in tal caso anche i determinanti   e   si annullano, per   il sistema risulta indeterminato.

Riassumendo si ha:

Condizioni sul parametro Insieme Soluzione Sistema
    privo di significato
    determinato
    indeterminato

Il sistema è frazionario

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Esempio:  

Il sistema letterale è fratto poiché al denominatore di una delle equazioni oltre al parametro compare l’incognita  . Se   la prima equazione, e di conseguenza tutto il sistema, è privo di significato. Per poter procedere alla ricerca dell’Insieme Soluzione poniamo sul parametro la condizione di esistenza:   (*)

Trattandosi di un sistema fratto, dobbiamo anche stabilire il Dominio del sistema:

 (**)

Passo I Portiamo nella forma canonica:

 .

Passo II Calcoliamo il determinante del sistema:

 .

Passo III Determiniamo il valore del parametro che rende   diverso da zero:  . Quindi se   il sistema è determinato.

Passo IV calcoliamo i determinanti   e   per trovare la coppia soluzione:

 

Quindi   e   è la coppia soluzione, che risulta accettabile se   per quanto stabilito nella (**). Essendo   per la (*), e   poiché il sistema risulti determinato, la coppia soluzione è accettabile se si pone anche la condizione  .

Passo V Se   il determinante   è nullo ed i determinanti   e   risultano diversi da zero, quindi il sistema risulta impossibile.

Riassumendo si ha:

Parametro Incognite Insieme Soluzione Sistema
 
  privo di significato
    determinato
  accettabile
  impossibile

Sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite

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In maniera analoga a quanto abbiamo visto per i sistemi di equazioni lineari di due equazioni in due incognite si possono avere sistemi lineari con più di due equazioni in altrettante incognite. Prendiamo in esame il caso di tre equazioni in tre incognite.

PROBLEMA 2. Determinare tre numeri reali  ,  ,   (nell’ordine) tali che il doppio del primo uguagli l’opposto del secondo, la differenza tra il primo e il triplo del terzo sia nulla e la somma del secondo con il terzo superi il primo di 4 unità.

Soluzione Formalizziamo le condizioni espresse nel testo attraverso equazioni lineari:

  1. il doppio del primo uguagli l’opposto del secondo:  ;
  2. la differenza tra il primo e il triplo del secondo sia nulla:  ;
  3. la somma del secondo con il terzo superi il primo di 4 unità:  .

Le tre condizioni devono essere vere contemporaneamente, quindi i tre numeri sono la terna soluzione del sistema di primo grado di tre equazioni in tre incognite:

 

Si può ricavare la   dalla prima equazione e sostituire nelle altre due:

 

Dalla seconda equazione ricaviamo   in funzione di   e sostituiamo il valore di   nell’ultima equazione

 

Risolviamo l’ultima equazione che è di primo grado in una sola incognita e sostituiamo il valore ottenuto di   nella seconda equazione:

 

Infine sostituiamo il valore ottenuto di   nella prima equazione:

 

ESEMPIO 17.  .

Procediamo con il metodo di riduzione. Sommiamo le prime due equazioni:  . Moltiplichiamo la seconda equazione per 3 e sommiamo con la terza:  . Costruiamo il sistema di queste due equazioni nelle sole due incognite   e  :

 

Moltiplichiamo la seconda equazione per   e sommiamo le due equazioni:

 

Sostituendo nella prima equazione del sistema ricaviamo la terza incognita:

 .

La terna soluzione del sistema assegnato è  .

Sistemi da risolvere con sostituzioni delle variabili

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Nella realtà, non sempre i sistemi di equazioni che descrivono delle relazioni tra variabili risultano lineari. Ma alcune volte essi possono essere ricondotti a sistemi lineari per mezzo di sostituzioni delle variabili.


ESEMPIO 18.  

Innanzi tutto il sistema considerato perde di significato se   oppure  , per cui  . Inoltre esso non risulta lineare nelle variabili   e  , ma con la seguente sostituzione di variabili

 (***)

il sistema può essere scritto in forma lineare

 

Per risolverlo possiamo moltiplicare per 2 la prima equazione:

  e sommando membro a membro abbiamo   dalla quale possiamo determinare  .

Per ricavare l’incognita   moltiplichiamo la prima equazione per  , ottenendo

  e sommando membro a membro abbiamo  

Avendo trovato i valori delle incognite   e   possiamo ricavare   e   sostituendo i valori trovati nella (***):   che, per quanto imposto dalla  , risultano valori accettabili come soluzione.

  1. dal nome del matematico svizzero Gabriel Cramer (1704 - 1752).