Gruppi e sottogruppi (algebra)

Operazione binaria

Una operazione binaria su un dato insieme $A$ non vuoto è una funzione

$\;*\colon A\times A\mapsto A$.

Non useremo mai la notazione $*(x,y)$ per indicare l'immagine di $(x,y)\in A\times A$ mediante la funzione $*$, ma scriveremo più semplicemente $x*y$.

Inoltre chiameremo magma l'oggetto $\langle A,*\rangle$, dove $A$ è detto sostegno del magma.

Semigruppi

Un semigruppo è una magma $\langle A,*\rangle$, dove $*$ è una operazione binaria associativa, ovvero tale che per ogni $x,y,z\in A$ si ha

$(x*y)*z=x*(y*z)$.

Un esempio di semigruppo è dato da $\langle \mathbb {N} ,+\rangle$ ossia dai naturali con l'usuale operazione di somma.

Elemento Neutro & Monoidi

Sia $\langle A,*\rangle$ un magma; un elemento $e\in A$ è detto elemento neutro se e solo se

$\forall a\in A\quad e*a=a*e=a$.

Se un magma ha elemento neutro allora esso è unico. Infatti sia $u\in A$ un elemento neutro e lo sia anche $u'\in A$. Si ha, essendo entrambi elementi neutri,

$u=u*u'=u'$.

Chiameremo monoide un semigruppo con elemento neutro; in tal caso scriveremo $\langle A,*,e\rangle$, dove $e$ è l'elemento neutro del magma $\langle A,*\rangle$.

Elementi invertibili & Gruppi

Sia $\langle A,*,e\rangle$ un monoide; un elemento $a\in A$ si dice invertibile se esiste un $a'\in A$, che in seguito verrà denotato con $a^{-1}$, tale che

$a*a'=a'*a=e;$

indicheremo con

$U(A):=\{a\in A:\exists a'\in A,a*a'=a'*a=e\}$

l'insieme degli elementi invertibili del monoide $A$. Un gruppo è un monoide $\langle A,*,e\rangle$ in cui

$U(A)\equiv A,$

ovvero un monoide i cui elementi sono tutti invertibili. Un gruppo $\langle A,*,e\rangle$ è detto abeliano se

$\forall x,y\in A\quad x*y=y*x$.

Sottogruppi

Sia $\langle A,*,e\rangle$ un gruppo; un sottoinsieme $U\subseteq A$ è detto sottogruppo del gruppo $A$, e scriveremo $U\leq A$, se valgono

• $\forall u,v\in U\quad u*v\in U;$
• $\forall u\in U\quad u^{-1}\in U.$

Si noti che la condizione che vi appartenga l'elemento neutro non è necessaria: infatti se $v\in U\leq A$ allora vi apparterrà anche $v^{-1}$ e il loro prodotto $v*v^{-1}=e$.

Una caratterizzazione

Un sottoinsieme $\emptyset \neq U\subset A$, con $\langle A,*,e\rangle$ gruppo, è un sottogruppo se e solo se

$\forall u,v\in U\quad u*v^{-1}\in U.$

Infatti se