Esistenza del limite per funzioni reali di variabile reale

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Esistenza del limite per funzioni reali di variabile reale
Tipo di risorsa Tipo: appunti
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica
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Esistenza del limiteModifica

Vediamo ora alcuni importanti criteri di esistenza del limite.

Teorema (unicità del limite)Modifica

Siano  . Sia poi   reale o  . Se   ha limite per   che tende ad un fissato  , allora questo è unico.


In altri termini, se una funzione ha due limiti (sempre con   fissato), allora necessariamente questi devono essere uguali.

Notazione
Quando vogliamo indicare che un numero reale   è reale oppure  , scriviamo che  , dove  .
DimostrazioneModifica

Ragioniamo per assurdo e supponiamo che esistano effettivamente due limiti   e   distinti. Se sono limiti distinti, distinti saranno anche i rispettivi intorni e dunque  .
Per la definizione di limite si ha rispettivamente, considerando questi intorni disgiunti,

 
 

Ma allora

 

e questo è impossibile, perché   è un punto di accumulazione e quindi   anche  , contraddicendo l'ipotesi che erano disgiunti. Dunque si ha per forza che

 .
 



È bene non farsi ingannare da alcuni metodi "meccanici" tipici dell'insegnamento delle scuole superiori (quali, ad esempio, calcolare il limite di una funzione che tende a   calcolando semplicemente il valore di  ...). Una cosa del genere è possibile (anche se priva di ogni senso, se fatta in questo modo meccanico...) soltanto in particolari casi di funzioni. Ma in generale, ciò potrebbe anche non avere alcun senso in quanto   potrebbe non essere nemmeno un punto del dominio della funzione!
Vediamo ora una proposizione che ci dimostra quanto invece sia molto più importante il comportamento di una funzione in opportuni intorni.

ProposizioneModifica

Sia  ,   ed   un punto di accumulazione di  .
Se esiste un qualche intorno   di   tale che   ed esiste il limite per   di  , allora esiste anche il limite di   (sempre per  ) e i due limiti sono uguali.

DimostrazioneModifica

Sia   il limite di   per  . Per la definizione di limite si ha

 .

Ponendo  , abbiamo che   per ogni   nell'intervallo   (se le due funzioni assumono gli stessi valori in  , continueranno a farlo nell'intersezione). Dunque

 .

Pertanto

 
 


Teorema (limite delle restrizioni)Modifica

Siano  ,   un punto di accumulazione di   e di  . Sia infine  .
Allora, se esiste il limite di  , esiste anche il limite di   ed i due limiti coincidono.

DimostrazioneModifica

Sia   il limite di  . Sempre per la definizione di limite, abbiamo

 .

Ma   e dunque la definizione sopra vale a maggior ragione per  , dal momento che vale per ogni   escluso   e  . In definitiva

 

e dunque

 
 


Concludiamo questa non certo leggera ma fondamentale lezione con un teorema molto importante che ci può aiutare a stabilire quando esiste il limite di una funzione.

Teorema (esistenza del limite rispetto alle successioni convergenti)Modifica

Siano  ,   un punto di accumulazione di  ,  . Siano infine  .
Allora, esiste il limite di   per   ed è   se e solo se, per ogni successione in   convergente a  ,  .
Formalizzando:

 .
DimostrazioneModifica

  . Supponiamo   e consideriamo   una successione convergente a   in  .
Confrontiamo ora le due definizioni, quella di limite di funzione e di limite di una successione:

 
 

Siccome   è una successione in  , ogni   appartiene ad  . Inoltre, ogni   con   appartiene anche a   intorno di  , perché la successione converge ad   per ipotesi.
Mettendo insieme le cose,  . In definitiva:

 .

  . Supponiamo ora che   per ogni successione   convergente ad  .
Per assurdo, supponiamo che se si ha l'ipotesi, non accade che  . Allora, negando la definizione di limite, otteniamo:

 

cioè, per ogni intervallo di  , esiste almeno un   intersecato questo intervallo per cui si ha che  , per un qualche   intervallo del limite.
Poniamo allora

 .

e

 

Per la negazione della definizione di limite che abbiamo dato prima,   ed è certamente contenuto in  . Allora, per l'assioma della scelta, esiste una funzione   tale che  , per ogni  .
Ma   è dunque una successione in   tale che   e   e conseguentemente   ma  .
Questo contraddice la tesi.

 


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