Esercizi sulle Onde (superiori)

I seguenti esercizi riguardano le lezioni delle Onde.

Esercizi

Radiazione del Sole

Sulla superficie della terra a causa del sole arriva energia sotto forma di un vettore di Poynting di intensità

$|I_{T}|\$, il sole dista dalla terra $d_{S}\$ ed ha un raggio di $R_{S}\$. Determinare la pressione della radiazione solare sulla terra, la potenza totale emessa dal sole e la pressione di radiazione sulla superficie del sole.

(dati del problema $|I_{T}|=1400\ W/m^{2}\$, $d_{S}=1.5\times 10^{11}\ m$, $R_{S}=6.98\times 10^{8}\ m$)

Componenti del campo e.m.

Sapendo che l'ampiezza del vettore di Poynting, dovuto alla radiazione solare, vale $|I_{T}|\$ determinare l'ampiezza quadratica media della componente elettrica e magnetica.

(dati del problema $|I_{T}|=1400\ W/m^{2}\$)

Vento solare

Immaginando di avere delle particelle di densità $\rho \$ che si trovano di fronte ad una stella tipo il sole che ha una massa $M_{S}\$. La radiazione che arriva sulla terra che dista $d_{S}\$ dal sole vale $|I_{T}|\$. Determinare al di sotto di quale raggio le particelle vengono respinte dalla pressione di radiazione invece che essere attratte dalla forza di Gravitazione universale. Supporre che tutta la radiazione venga assorbita dalle particelle.

(dati del problema $|I_{T}|=1400\ W/m^{2}\$, $d_{S}=1.5\times 10^{11}\ m$, $\rho =1\ g/cm^{3}$, $G=6.67\times 10^{-11}\ Nm^{2}/kg^{2}$, $M_{S}=2\times 10^{30}\ kg$ )

Linea di trasmissione

Calcolare la velocità delle onde in una linea di trasmissione coassiale costituita da due cilindri conduttori (molto lunghi) coassiali, l'interno ha un raggio esterno $r_{1}\$ mentre l'esterno ha raggio interno $r_{2}>r_{1}\$. Tra i due cilindri vi è un mezzo isolante di costante dielettrica relativa pari ad $\epsilon _{r}\$ e permabilità relativa eguale a quella del vuoto.

(dati del problema $\epsilon _{r}=4\$ )

Onda piana su disco

Si supponga che su un disco di raggio $R\$ incide normalmente al suo asse un'onda piana polarizzata linearmente il cui valore del campo magnetico efficace di $H_{eff}\$. Dell'onda e.m. una frazione $a\$ viene assorbita mentre il resto $r=1-a\$ viene riflessa. Determinare:

a) L'ampiezza (non il valore efficace) del vettore di Poynting dell'onda e.m.

b) L'energia depositata sul disco in un tempo $t_{1}\$.

c) La forza esercitata dalla radiazione sul disco.

(dati del problema $H_{eff}=100\ A/m\$, $R=1\ cm\$, $a=0.2\$, $t_{1}=10\ s\$)

Soluzioni

Radiazione del Sole

La pressione di radiazione sulla terra vale semplicemente:

$P_{T}={\frac {|I_{T}|}{c}}=4.7\cdot 10^{-6}\ Pa$

Assolutamente trascurabile rispetto alla pressione atmosferica che vale circa $10^{5}\ Pa$. Per calcolare la pressione reale si sarebbe dovuto tenere conto della percentuale di luce riflessa dalla terra il cosiddetto albedo che vale nel caso della Terra 0.38 questo comporta che la pressione

sia in realtà un poco maggiore $P_{v}=1.38P_{T}=6.4\cdot 10^{-6}\ Pa$

La potenza totale emessa dal sole viene ottenuta moltiplicando l'intensità del vettore di Poynting per la superficie di una sfera di raggio pari alla distanza Terra Sole:

$W_{S}=|I_{T}|4\pi d_{S}^{2}=4\cdot 10^{26}\ W\$

Sulla superficie del sole l'intensità del vettore di Poynting (emettendo il sole una onda sferica che quindi diminisce di ampiezza con il quadrato della distanza), vale:

$|I_{S}|=|I_{T}|{\frac {d_{S}^{2}}{R_{S}^{2}}}=6.5\cdot 10^{7}\ W/m^{2}$

Quindi la pressione di radiazione sulla superficie del sole vale:

$P_{S}={\frac {|I_{S}|}{c}}=0.22\ Pa$

Componenti del campo e.m.

La radiazione solare non è polarizzata per cui posso scrivere che:

$|I_{T}|=\left|{\frac {{\vec {E}}\times {\vec {B}}}{\mu _{o}}}\right|\approx {\frac {E_{m}^{2}}{c\mu _{o}}}\approx {\frac {cB_{m}^{2}}{\mu _{o}}}\$

Avendo supposto che tutte le direzioni sono equiprobabili e quindi che le componenti normali di $E\$ sono mediamente eguali. Essendo la componente di $B_{\bot }=E/c\$.

Quindi:

$E_{m}={\sqrt {I_{T}c\mu _{o}}}\approx 726\ V/m$

$B_{m}={\sqrt {\frac {I_{T}\mu _{o}}{c}}}\approx 2.4\ \mu T$

Vento solare

La forza dovuta alla gravità, detto $r_{x}\$ il raggio incognito e $r\$ la distanza dal sole,

vale:

$F_{G}=G{\frac {M_{S}\rho {\frac {4}{3}}\pi r_{x}^{3}}{r^{2}}}$

Mentre la forza dovuta alla pressione di radiazione vale:

$F_{P}={\frac {1}{c}}{\frac {I_{T}\pi r_{x}^{2}d_{S}^{2}}{r^{2}}}$

Imponendo che:

$F_{P}>F_{G}\$

si ha che:

${\frac {1}{c}}{\frac {I_{T}\pi r_{x}^{2}d_{S}^{2}}{r^{2}}}>G{\frac {M_{S}\rho 4/3\pi r_{x}^{3}}{r^{2}}}$

$r_{x}<{\frac {3I_{T}d_{S}^{2}}{GM_{S}4\rho }}=0.59\ \mu m$

Linea di trasmissione

La velocità delle onde sarà pari a quella che vale per tutte le linee di trasmissione:

$c'={\frac {1}{\sqrt {L_{l}C_{l}}}}\$

Dove $L_{l}\$ è l'induttanza per unità di lunghezza e $C_{l}\$ è la capacità per unità di lunghezza.

Presupponendo che la stessa corrente ma di segno opposto scorra nel cilindro interno ed in quello esterno. Il campo di induzione magnetica nella regione di spazio tra i due cilindri vale

$|B|={\frac {\mu _{o}I}{2\pi r}}\qquad r_{1}<r<r<r_{2}$

per la legge di Ampère. L'energia del campo di induzione magnetica nel tratto di lunghezza $l\$ vale:

$U={\frac {1}{2}}L_{l}lI^{2}={\frac {1}{2}}\int _{T}{\frac {|B|^{2}}{\mu _{o}}}d\tau \$

Dove T è la regione di spazio compresa tra i due cilindri. Quindi l'induttanza per unità di lunghezza vale:

$L_{l}={\frac {1}{\mu _{o}lI^{2}}}\int _{r_{1}}^{r_{2}}|B|^{2}l2\pi rdr={\frac {1}{\mu _{o}I^{2}}}\int _{r_{1}}^{r_{2}}\left({\frac {\mu _{o}I}{2\pi r}}\right)^{2}2\pi rdr={\frac {1}{\mu _{o}2\pi }}\ln {\frac {r_{2}}{r_{1}}}$

La capacità per unità di lunghezza viene calcolata dalla differenza di potenziale presente tra le due armature: il cilindro esterno e quello interno. Il campo elettrico per ragioni di simmetria è radiale e detta $\lambda \$ la densità di carica eguale ed opposta sulle due armature, attraverso il teorema di Gauss si ha che:

$|E|={\frac {\lambda l}{2\pi \epsilon _{o}\epsilon _{r}r}}\$

Quindi la differenza di potenziale tra l'armatura esterna e quella interna vale:

$V=\int _{r_{1}}^{r_{2}}|E|dr={\frac {\lambda l}{2\pi \epsilon _{o}\epsilon _{r}}}\ln {\frac {r_{2}}{r_{1}}}\$

Quindi la capacità per unità di lunghezza vale:

$C_{l}={\frac {Q}{Vl}}={\frac {\lambda l}{Vl}}={\frac {2\pi \epsilon _{o}\epsilon _{r}}{\ln r_{2}/r_{1}}}$

Quindi la velocità con cui si propagano le onde elettromagnetica nel cavo coassiale vale:

$c'={\frac {1}{\sqrt {L_{l}C_{l}}}}={\frac {1}{\sqrt {1/(\mu _{o}2\pi )(\ln r_{2}/r_{1})(2\pi \epsilon _{o}\epsilon _{r})/(\ln r_{2}/r_{1})}}}={\frac {1}{\sqrt {\mu _{o}\epsilon _{o}\epsilon _{r}}}}\approx 1.5\cdot 10^{8}\ m/s\$

Onda piana su disco

a)

Dato che:

$E_{eff}=cB_{eff}={\frac {1}{\sqrt {\mu _{o}\epsilon _{o}}}}\mu _{o}H_{eff}={\sqrt {\frac {\mu _{o}}{\epsilon _{o}}}}H_{eff}\$

$S_{eff}=E_{eff}H_{eff}={\frac {1}{\sqrt {\mu _{o}\epsilon _{o}}}}H_{eff}^{2}=3.8\cdot 10^{6}\ W/m^{2}\$

$S_{o}=2S_{eff}=7.54\cdot 10^{6}\ W/m^{2}$

b)

$E_{d}=\pi R^{2}t_{1}S_{eff}a=2387\ J$

c)

$F={\frac {S_{eff}}{c}}(2-a)\pi R^{2}=7.2\cdot 10^{-6}\ N$