Equazioni e punti di contatto tra circonferenze comunque disposte

Gli algoritmi utilizzati su questa voce non sono dimostrati ma soltanto implementati, a favore del calcolo automatico, in apposite routine in Visual Basic; per le dimostrazioni si rimanda agli innumerevoli testi di geometria analitica in commercio.

Determinazione equazioni e punti di contatto tra due circonferenze

Le coordinate dei punti di contatto tra due circonferenze comunque disposte nel piano cartesiano, siano tangenti che secanti, si calcolano mediante la soluzione di un sistema di quarto grado che vede coinvolte l'equazioni delle due curve.

La soluzione del sistema menzionato presenta sensibili difficoltà di manipolazione dei dati con il rischio di banali, ma deleteri, errori nel suo sviluppo.

Con l'aiuto del programma eseguibile che andiamo ad illustrare è possibile risolvere i problemi relativi a due circonferenze con estrema rapidità e sicurezza dei risultati; si determinano le equazioni delle due curve date le coordinate dei centri e i raggi, nonché le coordinate dei loro punti d'incontro

La struttura del programma prevede la grafica e la soluzione del problema con riferimento al sistema delle due equazioni sotto riportate:

${\begin{cases}x^{2}+y^{2}+a_{1}\ x+b_{1}\ y+c_{1}=0\\x^{2}+y^{2}+a_{2}\ x+b_{2}\ y+c_{2}=0\end{cases}}$

Entrambe le equazioni sono relative a circonferenze con i centri comunque collocati:

$Pc_{1}(xc_{1}\ ;\ yc_{1})\ \ Pc_{2}(xc_{2}\ ;\ yc_{2})\ \ e\ R_{1}\ ;\ R_{2}.$

Tutti i dati sono inseriti con impostazione su P.C.

Come si presenta la schermata del file eseguibile

La schermata del file eseguibile, al lancio sul P.C, si presenta come mostrato in figura 1, in essa s'individuano:

• il tracciato cartesiano
• la sezione per l'inserzione dati comprendente 7 TextBox ed un pulsante di comando.

nella parte sinistra si digitano i dati, indicati in rosso, relativi alla prima circonferenza, nella parte destra si digitano i dati, indicati in blu, relativi alla seconda circonferenza.

• la casella per l'inserimento del valore di scala relativo al tracciato cartesiano

Esempi d'utilizzo del programma di calcolo

In questa pagina sono proposti due esercizi grafico numerici la cui risoluzione è basata sul file eseguibile contenuto in geo5 scaricabile all'indirizzo riportato nei collegamenti esterni.

Primo esercizio: curve secanti

L'esercizio è relativo a due circonferenze individuate dalle due terne di valori, coordinate dei centri e raggi:

$Pc_{1}(xc_{1}=3\ ;\ yc_{1}=-4)\ \ R_{1}=6\ \$ (curva evidenziata in colore rosso)

$Pc_{2}(xc_{2}=-5\ ;\ yc_{2}=-3)\ \ R_{2}=3\ \$ (curva evidenziata in colore blu)

Dopo la digitazione dei dati e l'impostazione scala a : fondo scala = $10$, si preme il pulsante calcolo e si ottiene la schermata di figura 2 che indica:

• valori dei coefficienti relativi alle due equazioni del sistema della prima sezione:

curva rossa: $a_{1}=-6\ ;\ b_{1}=8\ ;\ c_{1}=-11$

curva blu: $a_{2}=10\ ;\ b_{2}=6\ ;\ c_{2}=25$

che diventano:

${\begin{cases}x^{2}+y^{2}+-6\ x+8\ y+-11=0\\x^{2}+y^{2}+10\ x+6\ y+25=0\end{cases}}$

• $Ps$ coordinate dei due punti di contatto tra le curve

$Ps_{1}(xs_{1}=-2.43\ ;\ ys_{1}=-1.45)\ \ ;\ \ Ps_{2}(xs_{2}=-2.89\ ;\ ys_{2}=-5.13)$.

Una volta presentati i dati questi possono essere cambiati e , dopo la pressione del pulsante calcolo, ottenere una presentazione completamente diversa.

Secondo esercizio: curve tangenti

Determinare l'equazione di una circonferenza, con centro su:

$Pc_{1}(xc_{1}=5\ ;\ yc_{1}=5)$ (sarà tracciata in rosso)

tangente alla curva definita dalla terna:

$Pc_{2}(xc_{2}=1\ ;\ yc_{2}=1)\ \ R_{2}=2.84\$ (sarà tracciata in blu)

S'inizia con la ricerca del raggio $R_{1}$ della prima circonferenza che, per le condizioni di tangenza, sarà la differenza tra la distanza $d$ tra i centri e il raggio $R_{2}$ della seconda:

La distanza $d$ tra i centri è:

$d={\sqrt {(xc_{2}-xc_{1})^{2}+(yc_{2}-yc_{1})^{2}}}={\sqrt {(1-5)^{2}+(1-5)^{2}}}={\sqrt {32}}=5.656$

quindi $R_{1}=d-R_{2}=2.816$ e la terna della prima circonferenza è:

$Pc_{1}(xc_{1}=5\ ;\ yc_{1}=5)\ \ R_{1}\approx 2.82$

Dopo la digitazione dei dati delle due terne di valori e l'impostazione scala a : fondo scala = $10$ , si preme il pulsante calcolo e si ottiene la schermata di figura 3 che indica:

• valori dei coefficienti

curva rossa: $a_{1}=-10\ ;\ b_{1}=-10\ ;\ c_{1}=42.05$

curva blu: $a_{2}=-2\ ;\ b_{2}=-2\ ;\ c_{2}=-6.07$

che generano le equazioni delle curve:

${\begin{cases}x^{2}+y^{2}-10\ x-10\ y+42.05=0\\x^{2}+y^{2}-2\ x-2\ y-6.07=0\end{cases}}$

• coordinate del punto di contatto tra le curve

$Ps_{1}(xs_{1}=3.07\ ;\ ys_{1}=1.94)\ \ ;\ \ Ps_{2}(xs_{2}=3.07\ ;\ ys_{2}=1.94)$

l'uguaglianza delle coordinate evidenzia la condizione di tangenza.

Partendo dall'equazione di una circonferenza data, una seconda equazione incognita di circonferenza tangente alla prima potrà essere determinata modificando i valori di questa fino ad ottenere il grafico voluto.

Note

Generalmente i problemi scolastici di geometria analitica mostrano, in tutti i casi, l'impiego di numeri razionali (frazioni numeriche) o irrazionali (radici quadrate) per l'eleganza formale del testo; è naturale quindi che per il controllo dei risultati di un problema di tipo scolastico con l'analogo sviluppato con le nostre routine si dovranno trasformare i valori razionali o irrazionali esposti per il primo in valori decimali per il confronto con il secondo.

Bibliografia

R.Ferrauto, Il problema geometrico e la geometria analitica, Editrice Dante Alighieri, Roma, 1980

C. Del Turco, La matematica con il personal computer –metodi matematici e grafici in Qbasic, Editrice MODERNA La Spezia, 1998.

N. Clemet Shmmas, Visual basic 6, Editrice Apogeo Milano, 1999

Don Inmann -B. Albrecht, Programmare in QuickBasic Editrice McGraw-Hill Italia , 1989

Collegamenti esterni

Deposito del file exe: geo5