Equazioni di parabole ortogonali

Una premessa è necessaria prima del prosieguo della pagina: gli algoritmi utilizzati non sono dimostrati ma soltanto implementati, a favore del calcolo automatico, in apposite routine in Visual Basic; per le dimostrazioni si rimanda agli innumerevoli testi di geometria analitica in commercio.

Algoritmi per calcolo dell'equazioni di due parabole con assi ortogonali e dei loro punti di contatto.

Le coordinate dei punti di contatto tra due parabole con assi ortogonali, siano tangenti che secanti,si devono trovare mediante la soluzione di un sistema di quarto grado che vede coinvolte l'equazioni delle due curve.

Il sistema menzionato non si presta a soluzioni puramente algebriche e richiede metodi diversi per la determinazione delle sue radici quando queste vi siano.

Con l'aiuto del programma eseguibile che andiamo ad illustrare è possibile risolvere il problema con estrema rapidità e sicurezza dei risultati.

La struttura del programma prevede la grafica e la soluzione del problema con riferimento al sistema delle due equazioni sotto riportate:

${\begin{cases}y=a\ x^{2}+b\ x+c\\a_{o}\ y^{2}+b_{o}\ y+c_{o}+x=0\end{cases}}$

La prima equazione è relativa ad una parabola ad asse verticale, la seconda ad una parabola ad asse orizzontale.

Il calcolo prevede l'introduzione dei valori dei coefficienti $(a\ ;\ b\ ;\ c)$ per la prima parabola e le coordinate di tre punti di passaggio per la seconda: $P_{1}(x_{1}\ ;\ y_{1})\ \ \ P_{2}(x_{2}\ ;\ y_{2})\ \ \ P_{3}(x_{3}\ ;\ y_{3}).$

La soluzione grafico numerica del problema, posto nei termini delle variabili citate, è immediato.

Come si presenta la schermata del file eseguibile

La schermata del file eseguibile, al lancio sul P.C, si presenta come mostrato in figura, in essa s'individuano:

• il tracciato cartesiano
• la sezione per l'inserzione delle coordinate $(x_{1}\ ;\ y_{1})\ \ \ (x_{2}\ ;\ y_{2})\ \ \ (x_{3}\ ;\ y_{3}).$ dei punti appartenenti alla parabola con asse orizzontale
• la sezione per l'inserzione dei coefficienti, $a\ ;\ b\ ;\ c$ della parabola con asse verticale.
• il pulsante per la grafica e il calcolo delle coordinate dei punti di contatto
• la casella per l'inserimento del valore di scala relativo al tracciato cartesiano
• otto Label per la presentazione delle coordinate dei punti di contatto
• sotto le formule delle due parabole, a calcolo ultimato, compaiono i valori dei coefficienti delle stesse.
• a fianco di ciascuna formula sono riportate le coordinate del vertice della parabola relativa.

La traccia della parabola con asse verticale può sconfinare il tracciato cartesiano per aiutare, in certe condizioni a stabilire il valore di scala più adatto all'esercizio.

In alcuni casi, quando i punti di contatto tra le curve sono fuori dal reticolo, a causa di un dimensionamento non corretto del "fondo scala" , le indicazioni delle coordinate dei punti di contatto non sono riportate sullo schermo; dall'andamento delle parabole questa condizione può essere individuata e di conseguenza modificata riportando in scala il tracciato.

(NB)Data la notevole quantità di operazioni il tempo di calcolo del P.C. è sensibilmente elevato.

Esempi d'utilizzo del programma di calcolo

In questa sezione sono proposti alcuni esercizi grafici numerici la cui risoluzione è basata sul file eseguibile contenuto in geo10 all'indirizzo indicato nella sezione Collegamenti esterni.

1° parabole secanti su quattro punti

Si consideri una parabola convessa con asse verticale dati i termini: $a=-2\ ;\ b=5\ ;\ c=5$

s'individui una parabola con asse orizzontale passante per:

$P_{1}(x_{1}=1\ ;\ y_{1}=-2)\ \ \ P_{2}(x_{2}=2\ ;\ y_{2}=2)\ \ \ P_{3}(x_{3}=5\ ;\ y_{3}=1).$

Una volta digitati i dati indicati e il valore di fondo scala =$10$, cliccando sul pulsante "Calcolo" sul reticolo cartesiano compaiono le due parabole.

A fianco l'indicazione delle quattro coordinate dei punti di contatto contornati si legge:

$p_{1}(x_{1}=3.42\ \ ;\ \ y_{1}=-1.29)$- caratteri verdi –

$p_{2}(x_{2}=3.03\ \ ;\ \ y_{2}=1.79)$ - caratteri magenta -

$p_{3}(x_{3}=-1.04\ \ ;\ \ y_{3}=-2.36)$- caratteri rossi –

$p_{4}(x_{4}=-.42\ \ ;\ \ y_{4}=2.55)$- caratteri blu –

La grafica è visibile in figura:

2° " parabole secanti per due punti

Ferma restando la parabola con asse orizzontale passante per:

$P_{1}(x_{1}=1\ ;\ y_{1}=-2)\ \ \ P_{2}(x_{2}=2\ ;\ y_{2}=2)\ \ \ P_{3}(x_{3}=5\ ;\ y_{3}=1).$

si sviluppa l'esercizio con una diversa parabola con asse verticale con i termini $a=-2\ ;\ b=-5\ ;\ c=-5$; il risultato è riportato in figura:

3° parabole non a contatto

Ferma restando la parabola con asse orizzontale passante per:

$P_{1}(x_{1}=1\ ;\ y_{1}=-2)\ \ \ P_{2}(x_{2}=2\ ;\ y_{2}=2)\ \ \ P_{3}(x_{3}=5\ ;\ y_{3}=1).$

si sviluppa l'esercizio con una diversa parabola con asse verticale con i termini $a=-4\ ;\ b=-5\ ;\ c=-5$; il risultato è riportato in figura:

4° parabole tangenti

Ferma restando la parabola con asse orizzontale passante per:

$P_{1}(x_{1}=1\ ;\ y_{1}=-2)\ \ \ P_{2}(x_{2}=2\ ;\ y_{2}=2)\ \ \ P_{3}(x_{3}=5\ ;\ y_{3}=1).$

si sviluppa l'esercizio con una diversa parabola con asse verticale con i termini $a=-5\ ;\ b=10\ ;\ c=-7$; il risultato è riportato in figura:

Bibliografia

R.Ferrauto, Il problema geometrico e la geometria analitica, Editrice Dante Alighieri, Roma, 1980

C. Del Turco, La matematica con il personal computer –metodi matematici e grafici in Qbasic, Editrice MODERNA La Spezia, 1998.

N. Clemet Shmmas, Visual basic 6, Editrice Apogeo Milano, 1999

Don Inmann -B. Albrecht, Programmare in QuickBasic Editrice McGraw-Hill Italia , 1989

Collegamenti esterni

Deposito del file exe: geo10