Equazione di circonferenza per tre punti

Nel calcolo dell'equazione di una circonferenza passante per tre punti e una sua tangente gli algoritmi utilizzati in questa voce non sono dimostrati ma soltanto implementati, a favore del calcolo automatico, in apposite routine in Visual Basic; per le dimostrazioni si rimanda agli innumerevoli testi di geometria analitica in commercio.

L'equazione della circonferenza e il sistema risolutivo

La determinazione dell'equazione di una circonferenza per tre punti richiede la soluzione del sistema a tre incognite: $a\ ;\ b\ ;\ c$ discendente dall'equazione implicita della circonferenza:

$x^{2}+y^{2}+a\cdot x+b\cdot y+c=0$

${\begin{cases}x_{a}^{2}+y_{a}^{2}+a\cdot x_{a}+b\cdot y_{a}+c=0\\x_{b}^{2}+y_{b}^{2}+a\cdot x_{b}+b\cdot y_{b}+c=0\\x_{c}^{2}+y_{c}^{2}+a\cdot x_{c}+b\cdot y_{c}+c=0\end{cases}}$

dove:

$(x_{a};y_{a})$

$(x_{b};y_{b})$

$(x_{c};y_{c})$

sono le coordinate dei tre punti di passaggio.

Il sistema è tedioso da risolvere; con l'impiego del file eseguibile disponibile su questa pagina il computo si svolge in frazioni di minuto e si può ripetere per innumerevoli valori delle coordinate di detti punti.

La schermata del file eseguibile

La schermata del file eseguibile, al lancio sul P.C, si presenta come mostrato in figura 1, in essa s'individuano:

• il tracciato cartesiano

• tre coppie di TextBox per l'inserzione delle coordinate di; $P_{1}(y_{1}\ ;\ y_{1})\ \ P_{2}(x_{2}\ ;\ y_{2})\ \ P_{3}(x_{3}\ ;\ y_{3})$

• un singolo TextBox per l'inserzione della scala del tracciato cartesiano

• tre pulsanti per:

-comando inserzione coordinate punti e loro tracciamento

-comando per il calcolo circonferenza e tracciamento

-comando per il calcolo tangente alla circonferenza per $P_{3}$

• Indicazione dell'equazione della circonferenza, del centro e il valore $r$ del raggio.

• indicazione dell'equazione completa della retta tangente la circonferenza in $P_{3}$

Esempio d'utilizzo del programma di calcolo

In questa sezione sono proposti due esercizi grafico numerici la cui risoluzione è basata sul file eseguibile contenuto in geo3 scaricabile all'indirizzo riportato nei collegamenti esterni.

In entrambi i casi si risolve il problema classico del calcolo e tracciamento di una circonferenza passante per 3 punti, con l'aggiunta del calcolo dell'equazione della tangente passante per uno di questi.

Esercizio proposto da G. Biondina

Il primo esercizio, sviluppato da Biondina è relativo ad una circonferenza passante per:

$P_{1}(3\ ;\ 4)\ ,\ P_{2}(-2\ ;\ -1)\ ,P_{3}(0\ ;-5)$ vediamo la procedura:

1) s'inseriscono nei TextBox in fondo a destra le coordinate dei te punti e un fondo scala FS = 10.

2) si preme il pulsante "Traccia punti" e si ottiene la schermata di figura 2 nella quale compaiono in rosso i punti voluti.

3) si preme il pulsante "Circonferenza" e compare, come mostrata in figura 3:

A fianco del tracciato passante per i punti inseriti viene scritta l'equazione della circonferenza con il dettaglio dei suoi coefficienti: $a\ ,\ b\ ,\ c$ delle coordinate del centro e la dimensione del raggio.

4) si preme il pulsante "Tang in P3" e compare la traccia della tangente con l'indicazione della sua equazione completa.

Dopo il 4° passo al quale ha seguito figura 4 si possono variare a piacere una o più ordinate lasciando le altre inalterate; dopo la ripetizione della procedura si ottengono così disposizioni geometriche diverse.

Esercizio per il coinvolgimento del fondo scala FS

Un secondo esempio coinvolge una serie di punti con coordinate molto grandi:

$P_{1}(x_{1}=127.3\ ;\ y_{1}=59.6)$

$P_{2}(x_{2}=-57.8\ ;\ y_{2}=-123)$

$P_{3}(x_{3}=-251\ ;\ y_{3}=45.7)$

In questo caso il fondo scala dovrà essere adattato ad un valore che risulti superiore, in valore assoluto, all'ordinata maggiore; nella serie dei valori sopra indicati l'ordinata più grande in valore assoluto è $x_{3}=-251$ , questa può essere contenuta ponendo il fondo scala uguale a $300$ ricordando che in tal caso ciascuno dei quadretti del reticolo assume il valore di $30$.

Inseriti i valori indicati e seguendo la procedura illustrata per l'esercizio precedente, dopo l'ultimo passo, si ottiene la schermata di figura 5.

Note

Generalmente i problemi scolastici di geometria analitica mostrano, in tutti i casi, l'impiego di numeri razionali (frazioni numeriche) o irrazionali (radici quadrate) per l'eleganza formale del testo; è naturale quindi che per il controllo dei risultati di un problema di tipo scolastico con l'analogo sviluppato con le nostre routine si dovranno trasformare i valori razionali o irrazionali esposti per il primo in valori decimali per il confronto con il secondo.

Bibliografia

R.Ferrauto, Il problema geometrico e la geometria analitica, Editrice Dante Alighieri, Roma, 1980

C. Del Turco, La matematica con il personal computer –metodi matematici e grafici in Qbasic, Editrice MODERNA La Spezia, 1998.

N. Clemet Shmmas, Visual basic 6, Editrice Apogeo Milano, 1999

Don Inmann -B. Albrecht, Programmare in QuickBasic Editrice McGraw-Hill Italia , 1989

Collegamenti esterni

Deposito del file exe: geo3