Definizione di limite per funzioni reali di variabile reale

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Definizione di limite per funzioni reali di variabile reale
Tipo di risorsa Tipo: appunti
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica
Avanzamento Avanzamento: appunti completi al 100%.

Punto di AccumulazioneModifica

Sia  ,   un intorno di   e   l'insieme degli intorni di  .
Si dice che   è un punto di accumulazione di   se

 

quindi

 

In altri termini, per ogni intorno del punto  , esiste almeno un altro punto di   che non sia  .

Si dice derivato di   l'insieme dei punti di accumulazione di   e si indica con  .

EsempioModifica

  punti di accumulazioneModifica

Sia  . Si dice che   è un punto di accumulazione di   se:

 

In questa definizione evitiamo di specificare   perché   non è un punto di  .

Possiamo dedurre questa interessante osservazione:

Sia   un punto di accumulazione di  . Allora

  (ricordiamo che  )

se e solo se

  cioè
 

Dunque   non ha maggiorante.


Definizione di LimiteModifica

Sia  . Scrivere

 

significa che se   è "vicino" a   allora anche   è vicina a   .

Questa idea intuitiva ci dice che il limite rappresenta la vicinanza di una funzione ad un determinato valore (sia esso un numero reale o  ) per   che tende ad un certo valore (anche qui sia esso un numero reale o  ). Per comodità di notazione scriveremo

 

Enunciamo ora la definizione di limite:

Sia   e sia   e  . Si dice che   tende a   per   che tende a   e si scrive

 

se

 


Questa è la definizione generale di limite per una funzione. È davvero molto importante e BISOGNA saperla maneggiare con grande naturalezza. Vediamo ora come si può utilizzare questa definizione e come si trasforma a seconda dei casi.

Caso1:   e limite realeModifica

In questo caso, con   reale e il limite reale, abbiamo

 

Dunque,   lo possiamo rappresentare in base alla definizione di limite come

 

Ma possiamo giungere anche ad una notazione un po' più compatta. Infatti notiamo che

 

ed allo stesso modo

 

Si ottiene infine, con questa nuova notazione,

 

che è la notazione compatta e più operativa che useremo d'ora in avanti.

Caso2:   e limite  Modifica

I rispettivi intervalli sono

  e  

La definizione di limite diventa per questo caso

 

e nella versione operativa

 

Caso3:   e limite  Modifica

I rispettivi intervalli sono

  e  

Dunque, la definizione di limite diventa

 

e nella versione operativa

 

Caso4:   e limite realeModifica

Procediamo come al solito, con i rispettivi intervalli che sono

  e  

La definizione di limite è allora

 

cioè per ogni intervallo del limite, esiste un numero reale   tale che il valore della funzione è vicino al limite quanto si voglia, per un opportuno   abbastanza grande ed in particolare sempre più grande di   (tendente quindi a  ).

In versione compatta abbiamo

 

Caso5:   e limite realeModifica

  e  

La definizione di limite è

 

cioè per ogni intervallo del limite, esiste un numero reale   tale che il valore della funzione è vicino al limite quanto si voglia, per un opportuno   abbastanza piccole ed in particolare sempre più piccolo di   (tendente quindi a  ).

In versione compatta abbiamo

 

Caso6:  Modifica

  e  

e dunque

 

Questi sono sostanzialmente i modelli di tutti i casi di limite. Come esercizio provate a fare voi gli altri, cioè nel caso di

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