Sia
A
⊆
R
,
A
≠
∅
,
x
0
∈
R
{\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ,A\neq \emptyset ,x_{0}\in \mathbb {R} }
H
{\displaystyle H}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
I
x
0
{\displaystyle {\mathcal {I}}_{x_{0}}}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
punto di accumulazione di
A
{\displaystyle A}
(
A
∖
{
x
0
}
)
∩
H
≠
0
,
∀
H
∈
I
x
0
{\displaystyle \left(A\setminus \{x_{0}\}\right)\cap H\neq 0,\forall H\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}}
quindi
∀
H
∈
I
x
0
∃
x
∈
A
∣
x
∈
H
,
x
≠
x
0
{\displaystyle \forall H\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}\exists x\in A\mid x\in H,x\neq x_{0}}
In altri termini, per ogni intorno del punto
x
0
{\displaystyle x_{0}}
A
{\displaystyle A}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
Si dice derivato di
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
D
(
A
)
{\displaystyle D(A)}
±
∞
{\displaystyle \pm \infty }
modifica
Sia
A
⊆
R
{\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }
+
∞
{\displaystyle +\infty }
A
{\displaystyle A}
A
∩
L
≠
∅
,
∀
L
∈
I
+
∞
{\displaystyle A\cap L\neq \emptyset ,\forall L\in {\mathcal {I}}_{+\infty }}
In questa definizione evitiamo di specificare
A
∖
{
+
∞
}
{\displaystyle A\setminus \{+\infty \}}
+
∞
{\displaystyle +\infty }
A
{\displaystyle A}
Possiamo dedurre questa interessante osservazione:
Sia
+
∞
{\displaystyle +\infty }
A
{\displaystyle A}
A
∩
H
≠
∅
,
∀
H
∈
I
+
∞
{\displaystyle A\cap H\neq \emptyset ,\forall H\in {\mathcal {I}}_{+\infty }}
H
=
]
m
,
+
∞
[
,
m
∈
R
{\displaystyle H=]m,+\infty [,m\in \mathbb {R} }
se e solo se
A
∩
]
m
,
+
∞
[
≠
∅
,
∀
m
∈
R
{\displaystyle A\cap ]m,+\infty [\neq \emptyset ,\forall m\in \mathbb {R} }
∀
m
∈
R
∃
x
∈
A
:
x
>
m
{\displaystyle \forall m\in \mathbb {R} \exists x\in A:x>m}
Dunque
A
{\displaystyle A}
Sia
f
:
A
→
R
,
A
⊆
R
{\displaystyle f:A\to \mathbb {R} ,A\subseteq \mathbb {R} }
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
λ
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lambda }
significa che se
x
{\displaystyle x}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
λ
{\displaystyle \lambda }
.
Questa idea intuitiva ci dice che il limite rappresenta la vicinanza di una funzione ad un determinato valore (sia esso un numero reale o
±
∞
{\displaystyle \pm \infty }
x
{\displaystyle x}
±
∞
{\displaystyle \pm \infty }
R
¯
=
R
∪
{
−
∞
,
+
∞
}
{\displaystyle \mathbb {\bar {R}} =\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}
Enunciamo ora la definizione di limite :
x
0
∈
R
{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }
modifica
In questo caso, con
x
0
{\displaystyle x_{0}}
{
I
λ
=
{
]
λ
−
ε
,
λ
+
ε
[
,
ε
>
0
}
I
x
0
=
{
]
x
0
−
δ
,
x
0
+
δ
[
,
δ
>
0
}
{\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {I}}_{\lambda }=\{]\lambda -\varepsilon ,\lambda +\varepsilon [,\varepsilon >0\}\\{\mathcal {I}}_{x_{0}}=\{]x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta [,\delta >0\}\end{cases}}}
Dunque,
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
λ
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lambda }
∀
ε
>
0
∃
δ
>
0
:
f
(
x
)
∈
]
λ
−
ε
,
λ
+
ε
[
,
∀
x
∈
A
∖
{
x
0
}
,
x
∈
]
x
0
−
δ
,
x
0
+
δ
[
{\displaystyle \forall \varepsilon >0\exists \delta >0\ :\ f(x)\in ]\lambda -\varepsilon ,\lambda +\varepsilon [,\forall x\in A\setminus \{x_{0}\},x\in ]x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta [}
Ma possiamo giungere anche ad una notazione un po' più compatta. Infatti notiamo che
f
(
x
)
∈
]
λ
−
ε
,
λ
+
ε
[
⇔
]
λ
−
ε
<
f
(
x
)
<
λ
+
ε
[
⇔
−
ε
<
f
(
x
)
−
λ
<
ε
⇔
|
f
(
x
)
−
λ
|
<
ε
{\displaystyle f(x)\in ]\lambda -\varepsilon ,\lambda +\varepsilon [\Leftrightarrow ]\lambda -\varepsilon <f(x)<\lambda +\varepsilon [\Leftrightarrow -\varepsilon <f(x)-\lambda <\varepsilon \Leftrightarrow |f(x)-\lambda |<\varepsilon }
ed allo stesso modo
x
∈
]
x
0
−
δ
,
x
0
+
δ
[
=
x
0
−
δ
<
x
<
x
0
+
δ
=
−
δ
<
x
−
x
0
<
δ
⇔
|
x
−
x
0
|
<
δ
{\displaystyle x\in ]x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta [=x_{0}-\delta <x<x_{0}+\delta =-\delta <x-x_{0}<\delta \Leftrightarrow |x-x_{0}|<\delta }
Si ottiene infine, con questa nuova notazione,
∀
ε
>
0
∃
δ
>
0
:
|
f
(
x
)
−
λ
|
<
ε
,
∀
x
∈
A
∖
{
x
0
}
,
|
x
−
x
0
|
<
δ
{\displaystyle \forall \varepsilon >0\exists \delta >0\ :\ |f(x)-\lambda |<\varepsilon ,\ \forall x\in A\setminus \{x_{0}\},|x-x_{0}|<\delta }
che è la notazione compatta e più operativa che useremo d'ora in avanti.
x
0
∈
R
{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }
+
∞
{\displaystyle +\infty }
modifica
I rispettivi intervalli sono
I
x
0
=
]
x
0
−
δ
,
x
0
+
δ
[
{\displaystyle {\mathcal {I}}_{x_{0}}=]x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta [}
I
+
∞
=
]
y
,
+
∞
[
,
y
∈
R
{\displaystyle {\mathcal {I}}_{+\infty }=]y,+\infty [,\ y\in \mathbb {R} }
La definizione di limite diventa per questo caso
∀
y
∈
R
∃
H
∈
I
x
0
:
f
(
x
)
>
y
,
∀
x
∈
A
∖
{
x
0
}
,
x
∩
I
{\displaystyle \forall y\in \mathbb {R} \exists H\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}\ :\ f(x)>y,\ \forall x\in A\setminus \{x_{0}\},x\cap I}
e nella versione operativa
∀
y
∈
R
∃
δ
>
0
:
f
(
x
)
>
y
,
∀
x
∈
A
∖
{
x
0
}
,
|
x
−
x
0
|
<
δ
{\displaystyle \forall y\in \mathbb {R} \exists \delta >0\ :\ f(x)>y,\ \forall x\in A\setminus \{x_{0}\},|x-x_{0}|<\delta }
x
0
∈
R
{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }
−
∞
{\displaystyle -\infty }
modifica
I rispettivi intervalli sono
I
x
0
=
]
x
0
−
δ
,
x
0
+
δ
[
{\displaystyle {\mathcal {I}}_{x_{0}}=]x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta [}
I
−
∞
=
]
−
∞
,
y
[
,
y
∈
R
{\displaystyle {\mathcal {I}}_{-\infty }=]-\infty ,y[,\ y\in \mathbb {R} }
Dunque, la definizione di limite diventa
∀
y
∈
R
∃
H
∈
I
x
0
:
f
(
x
)
<
y
,
∀
x
∈
A
∖
{
x
0
}
,
x
∩
I
{\displaystyle \forall y\in \mathbb {R} \exists H\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}\ :\ f(x)<y,\ \forall x\in A\setminus \{x_{0}\},x\cap I}
e nella versione operativa
∀
y
∈
R
∃
H
δ
>
0
:
f
(
x
)
<
y
,
∀
x
∈
A
∖
{
x
0
}
,
|
x
−
x
0
|
<
δ
{\displaystyle \forall y\in \mathbb {R} \exists H\delta >0\ :\ f(x)<y,\ \forall x\in A\setminus \{x_{0}\},|x-x_{0}|<\delta }
x
0
=
+
∞
{\displaystyle x_{0}=+\infty }
modifica
Procediamo come al solito, con i rispettivi intervalli che sono
I
+
∞
=
]
y
,
+
∞
[
,
y
∈
R
{\displaystyle {\mathcal {I}}_{+\infty }=]y,+\infty [,y\in \mathbb {R} }
I
λ
=
]
λ
−
ε
,
λ
+
ε
[
{\displaystyle {\mathcal {I}}_{\lambda }=]\lambda -\varepsilon ,\lambda +\varepsilon [}
La definizione di limite è allora
∀
L
∈
I
λ
∃
y
∈
R
:
f
(
x
)
∈
L
,
∀
x
>
y
{\displaystyle \forall L\in {\mathcal {I}}_{\lambda }\exists y\in \mathbb {R} \ :\ f(x)\in L,\ \forall x>y}
cioè per ogni intervallo del limite, esiste un numero reale
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
+
∞
{\displaystyle +\infty }
In versione compatta abbiamo
∀
ε
>
0
∃
y
∈
R
:
|
f
(
x
)
−
λ
|
<
ε
,
∀
x
>
y
{\displaystyle \forall \varepsilon >0\exists y\in \mathbb {R} \ :\ |f(x)-\lambda |<\varepsilon ,\ \forall x>y}
x
0
=
−
∞
{\displaystyle x_{0}=-\infty }
modifica
I
−
∞
=
]
−
∞
,
y
[
,
y
∈
R
{\displaystyle {\mathcal {I}}_{-\infty }=]-\infty ,y[,y\in \mathbb {R} }
I
λ
=
]
λ
−
ε
,
λ
+
ε
[
{\displaystyle {\mathcal {I}}_{\lambda }=]\lambda -\varepsilon ,\lambda +\varepsilon [}
La definizione di limite è
∀
L
∈
I
λ
∃
y
∈
R
:
f
(
x
)
∈
L
,
∀
x
<
y
{\displaystyle \forall L\in {\mathcal {I}}_{\lambda }\exists y\in \mathbb {R} \ :\ f(x)\in L,\ \forall x<y}
cioè per ogni intervallo del limite, esiste un numero reale
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
−
∞
{\displaystyle -\infty }
In versione compatta abbiamo
∀
ε
>
0
∃
y
∈
R
:
|
f
(
x
)
−
λ
|
<
ε
,
∀
x
<
y
{\displaystyle \forall \varepsilon >0\exists y\in \mathbb {R} \ :\ |f(x)-\lambda |<\varepsilon ,\ \forall x<y}
x
0
,
λ
=
+
∞
{\displaystyle x_{0},\lambda =+\infty }
modifica
I
x
0
=
I
+
∞
=
]
y
,
+
∞
[
,
y
∈
R
{\displaystyle {\mathcal {I}}_{x_{0}}={\mathcal {I}}_{+\infty }=]y,+\infty [,y\in \mathbb {R} }
I
λ
=
I
+
∞
=
]
z
,
+
∞
[
,
z
∈
R
{\displaystyle {\mathcal {I}}_{\lambda }={\mathcal {I}}_{+\infty }=]z,+\infty [,z\in \mathbb {R} }
e dunque
∀
y
∈
R
∃
z
∈
R
:
f
(
x
)
>
y
,
∀
x
>
z
{\displaystyle \forall y\in \mathbb {R} \exists z\in \mathbb {R} \ :\ f(x)>y,\ \forall x>z}
Questi sono sostanzialmente i modelli di tutti i casi di limite. Come esercizio provate a fare voi gli altri, cioè nel caso di
x
0
=
−
∞
,
λ
=
+
∞
{\displaystyle x_{0}=-\infty ,\ \lambda =+\infty }
x
0
=
−
∞
,
λ
=
−
∞
{\displaystyle x_{0}=-\infty ,\ \lambda =-\infty }
x
0
=
+
∞
,
λ
=
−
∞
{\displaystyle x_{0}=+\infty ,\ \lambda =-\infty }
![{\displaystyle H=]m,+\infty [,m\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2bc3235f0171018d68ab94e44c81d5ca1a25ee3)
![{\displaystyle A\cap ]m,+\infty [\neq \emptyset ,\forall m\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06801dd31ed167d66e1317e58f78c1cd13a09504)
![{\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {I}}_{\lambda }=\{]\lambda -\varepsilon ,\lambda +\varepsilon [,\varepsilon >0\}\\{\mathcal {I}}_{x_{0}}=\{]x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta [,\delta >0\}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aaf4ed1382fe696456d5525d29d063980acb5c7)
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0\exists \delta >0\ :\ f(x)\in ]\lambda -\varepsilon ,\lambda +\varepsilon [,\forall x\in A\setminus \{x_{0}\},x\in ]x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta [}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f33f9460cc7f84eafadf1129348d99e5e637b97c)
![{\displaystyle f(x)\in ]\lambda -\varepsilon ,\lambda +\varepsilon [\Leftrightarrow ]\lambda -\varepsilon <f(x)<\lambda +\varepsilon [\Leftrightarrow -\varepsilon <f(x)-\lambda <\varepsilon \Leftrightarrow |f(x)-\lambda |<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/025dfea3de63d5b64171c71edc3754d3085770d0)
![{\displaystyle x\in ]x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta [=x_{0}-\delta <x<x_{0}+\delta =-\delta <x-x_{0}<\delta \Leftrightarrow |x-x_{0}|<\delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d28577f6f18692e7276bb1b58c18979fa86dc9d7)
![{\displaystyle {\mathcal {I}}_{x_{0}}=]x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta [}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50ea2ad7cdbe4259140657d23dc4e34d011b7802)
![{\displaystyle {\mathcal {I}}_{+\infty }=]y,+\infty [,\ y\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed6e0a6484152c734f75de2d2720ed6ceae9b8d5)
![{\displaystyle {\mathcal {I}}_{-\infty }=]-\infty ,y[,\ y\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f959aecd51bbac8b57cfac5cc530bbf1c1191a4e)
![{\displaystyle {\mathcal {I}}_{+\infty }=]y,+\infty [,y\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c0a73ce57a756f1d8c3b41cb30adf1d2d63c6b8)
![{\displaystyle {\mathcal {I}}_{\lambda }=]\lambda -\varepsilon ,\lambda +\varepsilon [}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba054e9f864843d0c1dbeb91d0c624c89a60c2d8)
![{\displaystyle {\mathcal {I}}_{-\infty }=]-\infty ,y[,y\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00ea63a63f38a875261491ea35cdda74b7f4d8f5)
![{\displaystyle {\mathcal {I}}_{x_{0}}={\mathcal {I}}_{+\infty }=]y,+\infty [,y\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/766af7d01657fa95061cc2944466c77f0b1f5b16)
![{\displaystyle {\mathcal {I}}_{\lambda }={\mathcal {I}}_{+\infty }=]z,+\infty [,z\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab05580a3d8ec120f249856ea7ca323d0d709a48)
