Definizione di limite per funzioni reali di variabile reale

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Punto di Accumulazione

Sia $A\subseteq \mathbb {R} ,A\neq \emptyset ,x_{0}\in \mathbb {R}$, $H$ un intorno di $x_{0}$ e ${\mathcal {I}}_{x_{0}}$ l'insieme degli intorni di $x_{0}$.
Si dice che $x_{0}$ è un punto di accumulazione di $A$ se

$\left(A\setminus \{x_{0}\}\right)\cap H\neq 0,\forall H\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}$

quindi

$\forall H\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}\exists x\in A\mid x\in H,x\neq x_{0}$

In altri termini, per ogni intorno del punto $x_{0}$, esiste almeno un altro punto di $A$ che non sia $x_{0}$.

Si dice derivato di $A$ l'insieme dei punti di accumulazione di $A$ e si indica con $D(A)$.

$\pm \infty$ punti di accumulazione

Sia $A\subseteq \mathbb {R}$. Si dice che $+\infty$ è un punto di accumulazione di $A$ se:

$A\cap L\neq \emptyset ,\forall L\in {\mathcal {I}}_{+\infty }$

In questa definizione evitiamo di specificare $A\setminus \{+\infty \}$ perché $+\infty$ non è un punto di $A$.

Possiamo dedurre questa interessante osservazione:

Sia $+\infty$ un punto di accumulazione di $A$. Allora

$A\cap H\neq \emptyset ,\forall H\in {\mathcal {I}}_{+\infty }$ (ricordiamo che $H=]m,+\infty [,m\in \mathbb {R}$)

se e solo se

$A\cap ]m,+\infty [\neq \emptyset ,\forall m\in \mathbb {R}$ cioè

$\forall m\in \mathbb {R} \exists x\in A:x>m$

Dunque $A$ non ha maggiorante.

Definizione di Limite

Sia $f:A\to \mathbb {R} ,A\subseteq \mathbb {R}$. Scrivere

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lambda$

significa che se $x$ è "vicino" a $x_{0}$ allora anche $f(x)$ è vicina a $\lambda$ .

Questa idea intuitiva ci dice che il limite rappresenta la vicinanza di una funzione ad un determinato valore (sia esso un numero reale o $\pm \infty$) per $x$ che tende ad un certo valore (anche qui sia esso un numero reale o $\pm \infty$). Per comodità di notazione scriveremo

$\mathbb {\bar {R}} =\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$

Enunciamo ora la definizione di limite:

Sia $f:A\to \mathbb {R}$ e sia $x_{0}\in D(A),x_{0}\in \mathbb {\bar {R}}$ e $\lambda \in \mathbb {R}$. Si dice che $f(x)$ tende a $\lambda$ per $x$ che tende a $x_{0}$ e si scrive

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lambda$

se

$\forall L\in {\mathcal {I}}_{\lambda }\exists H\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}\mid f(x)\in L,\forall x\in (A\setminus \{x_{0}\})\cap H$

Questa è la definizione generale di limite per una funzione. È davvero molto importante e BISOGNA saperla maneggiare con grande naturalezza. Vediamo ora come si può utilizzare questa definizione e come si trasforma a seconda dei casi.

Caso1: $x_{0}\in \mathbb {R}$ e limite reale

In questo caso, con $x_{0}$ reale e il limite reale, abbiamo

${\begin{cases}{\mathcal {I}}_{\lambda }=\{]\lambda -\varepsilon ,\lambda +\varepsilon [,\varepsilon >0\}\\{\mathcal {I}}_{x_{0}}=\{]x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta [,\delta >0\}\end{cases}}$

Dunque, $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lambda$ lo possiamo rappresentare in base alla definizione di limite come

$\forall \varepsilon >0\exists \delta >0\ :\ f(x)\in ]\lambda -\varepsilon ,\lambda +\varepsilon [,\forall x\in A\setminus \{x_{0}\},x\in ]x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta [$

Ma possiamo giungere anche ad una notazione un po' più compatta. Infatti notiamo che

$f(x)\in ]\lambda -\varepsilon ,\lambda +\varepsilon [\Leftrightarrow ]\lambda -\varepsilon <f(x)<\lambda +\varepsilon [\Leftrightarrow -\varepsilon <f(x)-\lambda <\varepsilon \Leftrightarrow |f(x)-\lambda |<\varepsilon$

ed allo stesso modo

$x\in ]x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta [=x_{0}-\delta <x<x_{0}+\delta =-\delta <x-x_{0}<\delta \Leftrightarrow |x-x_{0}|<\delta$

Si ottiene infine, con questa nuova notazione,

$\forall \varepsilon >0\exists \delta >0\ :\ |f(x)-\lambda |<\varepsilon ,\ \forall x\in A\setminus \{x_{0}\},|x-x_{0}|<\delta$

che è la notazione compatta e più operativa che useremo d'ora in avanti.

Caso2: $x_{0}\in \mathbb {R}$ e limite $+\infty$

I rispettivi intervalli sono

${\mathcal {I}}_{x_{0}}=]x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta [$ e ${\mathcal {I}}_{+\infty }=]y,+\infty [,\ y\in \mathbb {R}$

La definizione di limite diventa per questo caso

$\forall y\in \mathbb {R} \exists H\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}\ :\ f(x)>y,\ \forall x\in A\setminus \{x_{0}\},x\cap I$

e nella versione operativa

$\forall y\in \mathbb {R} \exists \delta >0\ :\ f(x)>y,\ \forall x\in A\setminus \{x_{0}\},|x-x_{0}|<\delta$

Caso3: $x_{0}\in \mathbb {R}$ e limite $-\infty$

I rispettivi intervalli sono

${\mathcal {I}}_{x_{0}}=]x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta [$ e ${\mathcal {I}}_{-\infty }=]-\infty ,y[,\ y\in \mathbb {R}$

Dunque, la definizione di limite diventa

$\forall y\in \mathbb {R} \exists H\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}\ :\ f(x)<y,\ \forall x\in A\setminus \{x_{0}\},x\cap I$

e nella versione operativa

$\forall y\in \mathbb {R} \exists H\delta >0\ :\ f(x)<y,\ \forall x\in A\setminus \{x_{0}\},|x-x_{0}|<\delta$

Caso4: $x_{0}=+\infty$ e limite reale

Procediamo come al solito, con i rispettivi intervalli che sono

${\mathcal {I}}_{+\infty }=]y,+\infty [,y\in \mathbb {R}$ e ${\mathcal {I}}_{\lambda }=]\lambda -\varepsilon ,\lambda +\varepsilon [$

La definizione di limite è allora

$\forall L\in {\mathcal {I}}_{\lambda }\exists y\in \mathbb {R} \ :\ f(x)\in L,\ \forall x>y$

cioè per ogni intervallo del limite, esiste un numero reale $y$ tale che il valore della funzione è vicino al limite quanto si voglia, per un opportuno $x$ abbastanza grande ed in particolare sempre più grande di $y$ (tendente quindi a $+\infty$).

In versione compatta abbiamo

$\forall \varepsilon >0\exists y\in \mathbb {R} \ :\ |f(x)-\lambda |<\varepsilon ,\ \forall x>y$

Caso5: $x_{0}=-\infty$ e limite reale

${\mathcal {I}}_{-\infty }=]-\infty ,y[,y\in \mathbb {R}$ e ${\mathcal {I}}_{\lambda }=]\lambda -\varepsilon ,\lambda +\varepsilon [$

La definizione di limite è

$\forall L\in {\mathcal {I}}_{\lambda }\exists y\in \mathbb {R} \ :\ f(x)\in L,\ \forall x<y$

cioè per ogni intervallo del limite, esiste un numero reale $y$ tale che il valore della funzione è vicino al limite quanto si voglia, per un opportuno $x$ abbastanza piccole ed in particolare sempre più piccolo di $y$ (tendente quindi a $-\infty$).

In versione compatta abbiamo

$\forall \varepsilon >0\exists y\in \mathbb {R} \ :\ |f(x)-\lambda |<\varepsilon ,\ \forall x<y$

Caso6: $x_{0},\lambda =+\infty$

${\mathcal {I}}_{x_{0}}={\mathcal {I}}_{+\infty }=]y,+\infty [,y\in \mathbb {R}$ e ${\mathcal {I}}_{\lambda }={\mathcal {I}}_{+\infty }=]z,+\infty [,z\in \mathbb {R}$

e dunque

$\forall y\in \mathbb {R} \exists z\in \mathbb {R} \ :\ f(x)>y,\ \forall x>z$

Questi sono sostanzialmente i modelli di tutti i casi di limite. Come esercizio provate a fare voi gli altri, cioè nel caso di

• $x_{0}=-\infty ,\ \lambda =+\infty$
• $x_{0}=-\infty ,\ \lambda =-\infty$
• $x_{0}=+\infty ,\ \lambda =-\infty$.