Decadimento Radioattivo (superiori)

Decadimento radioattivo

In natura ( o creati artificialmente) sono presenti diversi isotopi dello stesso elemento chimico, un isotopo e' un atomo con lo stesso numero di protoni ma diverso numero di neutroni. Ad esempio esistono 15 isotopi diversi del Carbonio, quelli naturali sono il ¹²C , ¹³C e il ¹⁴C. Il carbonio-12 e' una forma stabile (non radioattiva) con 6 protoni e 6 neutroni e' l'isotopo più diffuso con una percentuale del 98,98% del totale degli atomi di carbonio.Il carbonio-13 e' una forma stabile (non radioattiva) con 6 protoni e 7 neutroni e' un isotopo che costituisce l' 1,11% del totale degli atomi di carbonio.Il carbonio-14 non e' una forma stabile , cioe' e' radioattivo con 6 protoni e 8 neutroni e decade con un tempo di dimezzamento pari a 5730 anni (precisione+/-40 anni)perdendo un elettrone e trasformandosi in azoto, esendo instabile con il passare del tempo scompare ma ne viene generato continuamente dai raggi cosmici che urtando delle particelle nella troposfera ne causano la rottura, l'emissione di neutroni che ne consegue determina la trasformazione dell'azoto atmosferico in carbonio-14, questo comporta che il rapporto ¹²C / ¹⁴C si mantenga stabile nell'atmosfera e negli organismi viventi (che lo assorbono dall'atmosfera o da altri o organismi viventi), quando un organismo vivente (animale, persona, vegetale) muore il rapporto ¹²C / ¹⁴C incomincia a cambiare perche' il ¹²C si mantiene stabile mentre il ¹⁴C comincia a decadere ( se ad esempio in un albero in vita ci sono 100 atomi di carbonio 14 passati 5730 anni dalla sua morte (ne troveremo la meta' cioe' 50).

Carbon 14 formation and decay

Ci proponiamo di studiare il decadimento del carbonio-14 per studiare la datazione di un ex organismo vivente, l'espressione che descrive il decadimento radioattivo e' una equazione differenziale che possiamo risolvere numericamente con Eulero. Si ha ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {dt} }}N(t)=-\lambda N(t)$ dove N(t) e' la quantità di isotopo radioattivo al tempo t e $\lambda$ e' una costante che esprime la velocità del decadimento (coefficiente di decadimento). Ora l'equazione differenziale può essere risolta in modo analitico e la soluzione e' $N(t)=N(0)e^{-\lambda t}$ in cui il numero di atomi dell'isotopo nell'istante 0 ( inizio del decadimento) possiamo indicarlo con N0 e quindi la formula diventa $N(t)=N_{0}e^{-\lambda t}$

Ora possiamo risolvere il problema differenziale anche in forma numerica ( troviamo la N(t) solo nei punti con t= 0, $\Delta t$, $2\Delta t$, $3\Delta t$, etc. Per fare questo evochiamo Eulero Heun Runge e Kutta.

La soluzione con Octave diventa

N0=10000;
lambda=0.0035;
%soluzione esatta analitica N(t)=N(0)*e^(-lambda*t)
t=0:50:2000;
y=N0*e.^(-lambda*t);
%plot(t,y);

% soluzione con eulero
y2(1)=N0;
delta=50;
for i=1:40
  y2(i+1)=y2(i)+delta*(-lambda*y2(i));
end
%plot(t,y,"1;reale;",t,y2,"2;eulero;");

% soluzione con heun
y3(1)=N0;
delta=50;
for i=1:40
 ypred=y3(i)+delta*(-lambda*y3(i));
 y3(i+1)=y3(i)+delta/2*(-lambda*y3(i)+(-lambda*ypred));
end
% plot(t,y,"1;reale;",t,y2,"2;eulero;",t,y3,"3;heun;");

% soluzione con rungekutta4
y4(1)=N0;
delta=50;
for i=1:40
 k1=-lambda*y4(i);
 k2=-lambda*(y4(i)+0.5*k1*delta);
 k3=-lambda*(y4(i)+0.5*k2*delta);
 k4=-lambda*(y4(i)+k3*delta);
 y4(i+1)=y4(i)+(k1+2*k2+2*k3+k4)*delta/6;
end
plot(t,y,"1;reale;",t,y2,"2;eulero;",t,y3,"3;heun;",t,y4,"5;rungekutta;");

Esercizio Datazione reperti archeologici mediante ¹⁴C

Questa tecnica fu usata dal fisico Libby nel 1949 per datare un campione di legno di acacia proveniente dalla tomba del faraone Zoser, vissuto durante la Terza Dinastia (2700-2600 a.c.). Dalla chimica conosciamo che il ¹⁴C e' un isotopo del carbonio radioattivo che ha un tempo di dimezzamento pari a 5730 anni (+-40anni), conosciamo inoltre che il ¹²C e' un isotopo stabile del carbonio con una massa di 12 grammi per mole, e che una mole contiene 6.02214129(27)×10^23 atomi (questo e' il numero di Avogadro) .Il rapporto ${\frac {^{14}{\textrm {C}}}{^{12}{\textrm {C}}}}$ e' costante nell'atmosfera (perche' il ¹⁴C che scompare per decadimento radioattivo si riforma grazie alla radiazione cosmica che aggiungendo un neutrone a un atomo di azoto atmosferico lo trasforma in un atomo di carbonio 14 e in un protone) , questo rapporto ${\frac {^{14}{\textrm {C}}}{^{12}{\textrm {C}}}}=1.3.10^{-}12$ e' costante anche negli esseri viventi perche' le piante acquisiscono CO2 (in cui il carbonio può essere un qualsiasi isotopo del carbonio) durante la loro vita e gli animali si nutrono di piante o di altri animali. Quando un essere vivente muore il ¹²C si mantiene essendo stabile e invece il ¹⁴C incomincia a diminuire perche' decade radioattivamente e non viene più reintegrato attraverso la respirazione e il cibo. Per misurare l'attuale decadimento del carbonio14 si possono usare due tecniche

• La prima tecnica ,utilizzando un contatore geiger proporzionale a gas (diversi dal tradizionale contatore geiger), conta i decadimenti spontanei del C14 nel campione da datare (trasformato in anidride carbonica gassosa): poiché i decadimenti sono rari, occorre almeno un grammo di carbonio e decine di ore di conteggio per avere una misura dell'età con elevata precisione (+/-15 anni).
• La seconda tecnica più moderna usa uno spettrometro ad accelerazione di massa (AMS) che conta direttamente il C14 del campione (di pochi milligrammi che andranno persi durante la prova).

In entrambi i metodi l'eta' max databile e' di 50000 anni con una precisione del 5%, ( per datazioni superiori il C14 rimasto e' troppo esiguo per permettere il calcolo con queste tecniche e si usano altre tecniche e decadimenti di altre sostanze radioattive ad esempio isotopo radioattivo uranio-238 e isotopo stabile piombo-206 ).

Pensiamo di avere un campione di un albero che contiene 100 grammi di carbonio, misuriamo con la tecnica del contatore geiger proporzionale a gas il decadimento che risulta di 1000 decadimenti al minuto.

Ora sapendo che il decadimento radioattivo segue la legge

$N(t)=N_{0}\cdot e^{-\lambda t}$ 

e conoscendo per il ¹⁴C il tempo di dimezzamento possiamo ricavare $\lambda$ infatti per

$N(t_{dimezzamento})=N_{0}/2$ si ha

${\frac {N_{0}}{2}}=N_{0}\cdot e^{-\lambda t_{dimezzamento}}$

${\frac {1}{2}}=e^{-\lambda t_{dimezzamento}}$

$\ln 1/2=-\lambda t_{dimezzamento}$

ed infine $\lambda ={\frac {1}{t_{dimezzamento}}}\cdot \ln 2$
e sapendo che $t_{dimezzamento}=5730anni$
si ottiene $\lambda =1.2*10^{-}4anni^{-}1=2.3*10^{-10}minuti^{-}1$

poi derivando la $N(t)=N_{0}\cdot e^{-\lambda t}$
si ottiene la ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}N(t)=-\lambda N_{0}\cdot e^{-\lambda t}$che abbiamo misurato sperimentalmente e vale -1000decadimenti/minuto
ricordando che quando l'albero era in vita e nel momento della sua morte (t=0) il rapport del carbonio 14 rispetto al carbonio 12 era uguale a una costantesi ha

$N_{0}(^{14}C)=1.3*10^{-12}N_{0}(^{12}C)$

e notando che gli atomi di carbonio-12 nell'istante della morte dell'albero si sono conservati fino ad ora si ha

$N_{0}(^{14}C)=1.3*10^{-12}N_{0}(^{12}C)=1.3*10^{-12}N(t_{attuale})(^{12}C)=1.3*10^{-12}\cdot 100gr/12grmol^{-1}\cdot 6.022\cdot 10^{23}moli^{-1}$

ora dalla ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}N(t)=-\lambda N_{0}\cdot e^{-\lambda t}$
conosciamo tutto, ricaviamo allora t con la
$t=-{\frac {1}{1.21*10^{-}4anni^{-}1}}ln\left({\frac {-1000decadimenti/minuto}{2.3*10^{-}10minuti^{-}1*1.3*10^{-12}\cdot 100gr/12grmol^{-1}\cdot 6.022\cdot 10^{23}moli^{-1}}}\right)=3347anni$