Circonferenza con centro su (X = 0 ; Y = 0) e rette associate

Circonferenza con il centro sull'origine degli assi e rette associate

Quando le coordinate del centro della circonferenza sono coincidenti con l'intersezione degli assi cartesiani di riferimento si ha il caso più semplice per la soluzione dei problemi tra rette e conica.

In questa pagina è riportato un file eseguibile che consente, in modo rapido, il tracciamento di una data circonferenza di raggio $R$ e centro in $P(x_{c}=0\ ;\ y_{c}=0)$ e, da un punto esterno ad essa, la costruzione delle sue tangenti e la conseguente secante per i punti di tangenza.

Il programma scrive inoltre l'equazioni delle tre rette in gioco.

Gli algoritmi implementati nell'eseguibile sono:

• equazione della circonferenza con centro all'origine degli assi: $x^{2}+y^{2}=R^{2}$

• coordinate singoli punti esterni alla circonferenza: $(x_{o}\ ;\ y_{o})$

• equazione rette $\ y=m_{1}\ x+n_{1}\ \ \ e\ \ \ y=m_{2}\ \ x+n_{2}$ tangenti alla circonferenza e passanti per il punto $P(x_{o}\ ;\ y_{o})$ in cui

$m_{1}\ \ \ e\ \ \ m_{2}$ sono ottenuti dalla soluzione del sistema posto il discriminante dell'equazione discendente $\Delta =0$:

${\begin{cases}x^{2}+y^{2}=R^{2}\\(y-y_{o})/(x-x_{o})=m\end{cases}}$

e il valore di $n$ si calcola con l'espressione: $n=y_{o}-m\cdot x_{o}$

• coordinate dei punti di tangenza $x_{1}t\ ;\ y_{1}t\ \ e\ \ x_{2}t\ \ ;\ y_{2}t$ ottenute dalla soluzione dei sistemi

${\begin{cases}x^{2}+y^{2}=R^{2}\\y=m_{1}\cdot x+n_{1}\end{cases}}$

${\begin{cases}x^{2}+y^{2}=R^{2}\\y=m_{2}\cdot x+n_{2}\end{cases}}$

• equazione della retta secante $y=m_{3}\ x+n_{3}$ per i punti di tangenza dove :

$m_{3}=(y_{2}t-y_{1}t)/(x_{2}t-x1t)$

$n_{3}=-(x_{1}t\cdot (y_{2}t-y_{1}t)/(x_{2}t-x_{1}t))+y_{1}t$

L'impiego del file eseguibile

Il file eseguibile al lancio sul P.C, si presenta come mostrato in figura 1, in essa s'individuano il tracciato cartesiano e 4 caselle d'immissione dati con un pulsante d'avvio "Calcolo".

Nella casella $R$ si deve digitare il valore del raggio del cerchio da tracciare.

Nelle caselle $Xo\ \ ;\ \ Yo$ le coordinate del punto esterno alla circonferenza

Nella casella "Scala" il valore da assegnare al fondo scala del reticolo affinché possa contenere il tracciato completo: circonferenza, punto esterno, tangenti e secante.

Sotto la scritta " Equazioni delle tangenti e della secante" vengono presentate in forma esplicita le tre equazioni calcolate.

Sono inoltre presentate in forma numerica le coordinate dei punti caratteristici: $X_{1}t\ \ ;\ \ Y_{1}t\ \ e\ \ X_{2}t\ \ ;\ \ Y_{2}t$

Esempio d'utilizzo del programma di calcolo

In questa sezione viene proposto un esercizio grafico numerico la cui risoluzione è basata sul file eseguibile contenuto in geo2 scaricabile all'indirizzo indicato nei collegamenti esterni.

La soluzione del problema classico, sulla circonferenza e le rette associate, viene sviluppato in in pochi secondi quando, altrimenti, il tempo di sviluppo potrebbe richiedere molto più lavoro

Se ipotizziamo la ricerca delle tangenti ad una circonferenza di raggio $R=5.4$, passanti per il punto $Po(x_{o}=-3.7)\ \ \ e\ \ \ (y_{o}=7.2)$ una volta inseriti i dati nelle apposite caselle della schermata di Sito2.exe, con valore di fondo scala uguale a $10,$ otteniamo i seguenti dati come mostrato in figura 2:

-tangente gialla: $y=3.83\ x+21.36$

-tangente blu: $y=-0.38\ x+5.78$

-secante rossa: $y=0.51\ x+4.05$

-coordinate punti di tangenza $x_{1}t=-5.22\ \ ;\ \ y_{1}t=1.37\ \ ;\ \ x_{2}t=1.93\ \ ;\ \ y_{2}t=5.04$

Note

Generalmente i problemi scolastici di geometria analitica mostrano, in tutti i casi, l'impiego di numeri razionali (frazioni numeriche) o irrazionali (radici quadrate) per l'eleganza formale del testo; è naturale quindi che per il controllo dei risultati di un problema di tipo scolastico con l'analogo sviluppato con le nostre routine si dovranno trasformare i valori razionali o irrazionali esposti per il primo in valori decimali per il confronto con il secondo.

Bibliografia

R.Ferrauto, Il problema geometrico e la geometria analitica, Editrice Dante Alighieri, Roma, 1980

C. Del Turco, La matematica con il personal computer –metodi matematici e grafici in Qbasic, Editrice MODERNA La Spezia, 1998.

N. Clemet Shmmas, Visual basic 6, Editrice Apogeo Milano, 1999

Don Inmann -B. Albrecht, Programmare in QuickBasic Editrice McGraw-Hill Italia , 1989

Collegamenti esterni

Deposito del file exe: geo2