Cinematica e statica della trave piana

Il solido trave

Nel campo della scienza delle costruzioni applicata all'ingegneria civile riveste particolare importanza un corpo rigido, chiamato trave. Possiamo definire con il termine solido trave un qualunque corpo rigido prismatico ottenuto dall'estrusione di una generica figura piana lungo una linea passante per il baricentro della figura stessa e per il quale lo sviluppo longitudinale è molto maggiore rispetto allo sviluppo trasversale (l>>h).

È intuitivo comprendere che il solido trave sarà collocato in un sistema di riferimento tridimensionale (rappresentato in figura e collocato sempre nel baricentro della sezione) e potrà essere caratterizzato in ogni sezione da differenti valori di area (e conseguentemente diversi valori di tutte quelle grandezze quali il momento statico e i momenti di inerzia che, come vedremo, sono legati alle caratteristiche prestazionali delle travi stesse). Si può quindi notare che il numero di variabili da tenere in considerazione è estremamente elevato. Per semplificare il problema e permetterci di prendere confidenza con le metodologie operative tipiche della scienza delle costruzioni andremo a considerare il solo andamento della cosiddetta linea d'asse della sezione, ovvero la retta che unisce i baricentri delle sezioni della trave. Così facendo otterremo una rappresentazione schematica della trave che prescinde dalle caratteristiche geometriche della trave stessa, oltre che dal materiale e da altre variabili, che andremo a reintrodurre in un secondo momento. Per semplicità di trattazione verranno considerate travi le cui linee d'asse sono rettilinee o, se curvilinee, caratterizzate dall'avere un raggio di curvatura elevato. Nel sistema di riferimento indicato in figura la linea d'asse coincide quindi con l'asse z mentre gli assi x ed y giacciono sul piano della sezione. La rappresentazione bidimensionale della trave è rappresentata in figura (si può facilmente notare che l'asse x non è più rappresentabile).

È evidente che la trave piana appena introdotta, essendo un corpo libero di muoversi nel piano in quanto non soggetto ad alcun tipo di vincolo, presenterà 3 gradi di libertà (traslazione orizzontale, traslazione verticale e rotazione) e quindi potrà assumere $\infty ^{3}$ possibili configurazioni nel piano cartesiano.

Vincoli esterni

Per garantire l'assenza di movimento della trave dobbiamo introdurre dei vincoli esterni che impediscano alla trave di muoversi e che fissino quindi i 3 gradi di libertà: il compito dei vincoli esterni è quindi quello di imporre particolari condizioni ai movimenti elementari dei punti dove essi vengono applicati. Per semplicità di trattazione si supporranno i vincoli esterni sempre lisci, bilateri e del tutto incapaci di esercitare reazioni vincolari nella direzione dei movimenti consentiti dai vincoli stessi. Oltre a imporre condizioni, i vincoli introducono una serie di centri di rotazione assoluta attorno ai quali il solido trave sarà costretto a ruotare. Tali centri di rotazione si indicano con la lettera greca $\Omega$ e potranno essere dei punti "propri" (ovvero definiti nello spazio) o dei punti "impropri" qualora se ne conosca solo la retta di appartenenza. Da un punto di vista della gerarchia dei vincoli, essi possono essere suddivisi in tre gruppi:

• vincoli semplici
• vincoli doppi
• vincoli tripli

Vincoli semplici

Sono quei vincoli che eliminano un solo grado di libertà del solido trave, forniscono una sola equazione di vincolo e conseguentemente una sola reazione vincolare. I vincoli semplici, inoltre, non forniscono indicazioni sull'esatta posizione del centro di rotazione assoluta, ma indicano solo la retta sulla quale è collocato tale punto. Sono vincoli semplici il carrello e la biella. Vediamo nel dettaglio quali sono le caratteristiche statiche e dinamiche di questi due vincoli semplici.

Il carrello è un vincolo che elimina una traslazione. Se ne andiamo ad analizzare la rappresentazione schematica notiamo che in essa vengono rappresentate delle rotelline (che permettono quindi la traslazione lungo il piano sul quale il carrellino è appoggiato) e una cerniera (che permette al solido trave di ruotare): se ne deduce che l'unico movimento impedito dal carrello è la traslazione in direzione verticale. Se indichiamo con n la normale al piano di scorrimento e con p la direzione parallela, otteniamo questa terna di equazioni cinematiche che definiscono le caratteristiche del vincolo:

$\left\{d\eta _{P}\right\}^{T}\left\{n\right\}=0$

$\left\{d\eta _{P}\right\}^{T}\left\{p\right\}\not =0$

$\varphi \not =0$

La prima e la seconda equazione forniscono informazioni circa la traslazione del solido trave. Se chiamiamo $\left\{d\eta _{P}\right\}$ il vettore che contiene le componenti del vettore spostamento infinitesimo di P e ne andiamo a calcolare la proiezione in direzione n otteniamo come risultato 0, mentre in direzione p troviamo un risultato diverso da zero. Questo a causa della condizione di vincolo che imponeva la possibilità di effettuare traslazioni solo in direzione parallela al piano sul quale appoggia il carrello. La terza equazione infine afferma che le rotazioni del solido trave non sono impedite, in quanto è presente una cerniera.

Analogamente per la biella avremo:

$\left\{d\eta _{P}\right\}^{T}\left\{n\right\}=0$

$\left\{d\eta _{P}\right\}^{T}\left\{p\right\}\not =0$

$\varphi \not =0$

Si può notare quindi come biella e carrello risultino cinematicamente identici (e quindi interscambiabili). Dal punto di vista statico la biella ed il carrello possono essere "sostituiti" con una reazione vincolare che ha la stessa direzione della retta n, ovvero è sempre normale al piano di scorrimento (nel caso di un carrello) ovvero coincide con la direzione della biella.

Vincoli doppi

Sono quei vincoli che eliminano due gradi di libertà del solido trave, forniscono due equazioni di vincolo e conseguentemente due reazioni vincolari. Sono vincoli doppi la cerniera, il pattino ed il manicotto.

La cerniera è un vincolo che consente la sola rotazione attorno al centro di rotazione assoluta che coincide con la cerniera stessa. Viene rappresentato con un cerchio (il fatto che sia vincolato a terra è indicato dai segmenti che si dipartono dal cerchio). Le equazioni cinematiche che definiscono le caratteristiche di questo vincolo sono:

$\left\{d\eta _{P}\right\}^{T}\left\{n\right\}=0$

$\left\{d\eta _{P}\right\}^{T}\left\{p\right\}=0$

$\varphi \not =0$

Come si può notare, la cerniera è cinematicamente caratterizzata dall'avere due movimenti bloccati (la traslazione orizzontale e la traslazione verticale) mentre l'unico movimento consentito è la rotazione.

Staticamente la cerniera può essere sostituita con due forze, una in direzione n ed una in direzione p.

Il pattino ed il manicotto sono vincoli doppi per i quali il centro di assoluta rotazione non può essere individuato come punto definito, ma se ne conosce solo la direzione. Si può infatti affermare che il centro di assoluta rotazione di questi due vincoli è un punto all'infinito che appartiene alla normale n al piano di scorrimento del vincolo.

Le equazioni cinematiche che caratterizzano il pattino ed il manicotto sono:

$\left\{d\eta _{P}\right\}^{T}\left\{n\right\}=0$

$\left\{d\eta _{P}\right\}^{T}\left\{p\right\}\not =0$

$\varphi =0$

Questi due vincoli prendono anche il nome di cerniera impropria in quanto è sempre possibile vedere una traslazione come una rotazione attorno ad un punto posto all'infinito (questa considerazione è valida solo sotto l'ipotesi di piccoli spostamenti).

Staticamente il pattino ed il manicotto possono essere sostituiti con un momento concentrato (in quanto questi due vincoli non consentono rotazioni) ed una forza, che sarà orizzontale o verticale a seconda dell'orientamento del piano di scorrimento.

Vincoli tripli

Sono quei vincoli che eliminano tre gradi di libertà del solido trave, forniscono tre equazioni di vincolo e conseguentemente tre reazioni vincolari. L'unico vincolo triplo nel piano è l' incastro.

Le equazioni cinematiche per l'incastro sono:

$\left\{d\eta _{P}\right\}^{T}\left\{n\right\}=0$

$\left\{d\eta _{P}\right\}^{T}\left\{p\right\}=0$

$\varphi =0$

Staticamente l'incastro può essere sostituito con una terna di reazioni vincolari: una in direzione orizzontale, una verticale ed un momento concentrato.

Centri di rotazione

Nella figura sottostante sono rappresentati tutti i vincoli visti finora, con indicata la posizione del centro di assoluta rotazione. L'individuazione di questi punti è fondamentale in quanto consente, applicando una serie di teoremi, di verificare il comportamento cinematico delle strutture.

Analisi cinematica di una trave semplice

Per comprendere il funzionamento dal punto di vista cinematico di un solido trave vincolato a terra dobbiamo innanzitutto procedere con il computo dei cosiddetti gradi di libertà e dei gradi di vincolo della struttura. Si vedrà come queste considerazioni saranno identiche anche per il caso di più solidi trave mutuamente vincolati. Ricordiamo che ogni solido trave libero di muoversi nel piano è caratterizzato dall'avere 3 possibili modalità di movimento, e conseguentemente presenterà 3 gradi di libertà spesso indicati con la sigla GdL. Se però il solido è vincolato a terra mediante opportuni vincoli, ecco che questi gradi di libertà vengono contrastati dall'azione dei vincoli stessi; è quindi necessario andare a conteggiare il numero di gradi di vincolo o GdV della struttura per avere una prima valutazione qualitativa del possibile comportamento della struttura. In particolare possiamo avere tre situazioni distinte:

• GdL>GdV
• GdL=GdV
• GdL<GdV

Nel primo caso la struttura presenta un numero di gradi di libertà superiore ai gradi di vincolo applicati; è quindi evidente che sarà possibile qualche forma di movimento. La struttura in questo caso è definita ipostatica. Nel secondo caso la struttura presenta un numero di gradi di libertà uguale al numero di gradi di vincolo; i movimenti possibili sono contrastati dall'azione dei vincoli questo genere di struttura è definita isostatica. Può però capitare che, nonostante la struttura risulti essere isostatica, siano possibili dei movimenti. In tal caso la struttura si dice labile. Nel terzo caso invece la struttura presenta un numero di gradi di vincolo maggiore del numero di gradi di libertà. È evidente che abbiamo dei gradi di vincolo sovrabbondanti e la struttura è detta iperstatica. Da queste considerazioni derivano i due teoremi:

Teorema: Condizione sufficiente affinché una trave sia geometricamente indeterminata (labile), ovvero che la trave abbia la possibilità di movimento, è che il numero dei gradi di vincolo sia inferiore al numero dei gradi di libertà.

Teorema: Condizione sufficiente affinché una trave sia geometricamente determinata è che il numero dei gradi di vincolo sia uguale o maggiore al numero dei gradi di libertà e l=0.

Abbiamo visto come ogni vincolo applicato al solido trave sia caratterizzato dall'avere un centro di assoluta rotazione (sia esso proprio o improprio). La cinematica della trave (e delle strutture complesse) può essere studiata individuando i centri di rotazione dei suoi vincoli e valutandone la mutua posizione. Si può infatti affermare che se in una trave vincolata a terra i centri di assoluta rotazione hanno un punto (proprio o improprio) in comune, allora la trave sarà labile.

Reazioni vincolari

Ogni vincolo è caratterizzato dall'avere una terna di equazioni cinematiche che ne definisce il funzionamento in termini di movimenti consentiti o bloccati; la presenza di movimenti non consentiti porta all'insorgere di opportune reazioni vincolari, il cui compito è contrastare l'azione dei carichi esterni (forze e momenti concentrati, carichi distribuiti) agenti sulla struttura. Una volta individuati quindi i vincoli, essi possono essere sostituiti con le reazioni vincolari senza pregiudicare la staticità della struttura stessa.

Il carrello e la biella, vincoli semplici, sono caratterizzati dal consentire una traslazione e una rotazione. La reazione vincolare conseguente è una forza normale al piano su cui giace il carrello o normale all'asse della biella.

La cerniera, vincolo doppio che consente la sola rotazione, è caratterizzata dall'avere una coppia di reazioni vincolari: due forze ortogonali tra di loro (per semplicità questa coppia di forze è spesso orientata seguendo la direzione orizzontale e verticale in modo da rendere agevoli i calcoli).

Il pattino, vincolo doppio che consente la traslazione lungo il piano su cui giace, può essere sostituito con due reazioni vincolari: una forza normale al piano e un momento concentrato.

Il manicotto ha comportamento identico al pattino, sia dal punto di vista statico che cinematico.

L'incastro, vincolo triplo, è caratterizzato dall'avere tutte e tre le reazioni vincolari viste finora: una coppia di forze (generalmente dirette secondo le direzioni orizzontale e verticale) ed un momento concentrato.

È importante ricordare che il verso attribuito alle reazioni vincolari durante la fase di eliminazione dei vincoli esterni è totalmente arbitrario; una volta determinate le entità delle reazioni vincolari si procederà ad una correzione dei versi delle forze.

Esercitazione

Esercitazione n°1: classificazione cinematica di travi vincolate

Esercitazione n°2: azioni esterne

Esercitazione n°3: statica della trave piana vincolata