Esercitazione n°3: statica della trave piana vincolata

In questa lezione comprenderemo come determinare le reazioni vincolari nel caso di una trave vincolata attraverso una serie di esercizi svolti e commentati. La procedura di determinazione delle reazioni vincolari in travi singole prevede i seguenti passaggi:

verifica della isostaticità della struttura
verifica della non labilità della struttura
"numerazione" dei vincoli
sostituzione dei vincoli con le relative reazioni vincolari
scrittura delle equazioni cardinali della statica sotto forma di sistema
risoluzione del sistema
ridisegno della struttura con le corrette reazioni vincolari

esercitazione Esercitazione n°3: statica della trave piana vincolata
	Tipo: esercitazione
	Materia: Scienza delle costruzioni

Esercizio n°1

Determinare le reazioni vincolari della struttura.

Si tratta di una trave semplice, vincolata con una cerniera (vincolo doppio) ed un carrello (vincolo semplice). Nella pratica ingegneristica questa combinazione di vincoli viene detto trave cerniera-carrello. Questa configurazione è isostatica e, con i vincoli ben disposti, non labile. Eliminiamo i vincoli e sostituiamoli con le relative reazioni vincolari (ricordiamo che i versi dei vettori sono arbitrari!) e indichiamo ogni reazione con un nome: per "comodità" si consiglia di utilizzare la lettera H per le reazioni orizzontali, V per le reazioni verticali e M per i momenti. Introduciamo inoltre una sorta di "sistema di riferimento" che ci fornisca indicazioni sulle convenzioni di segno che intendiamo adottare durante i calcoli.

Scriviamo adesso le equazioni cardinali della statica sotto forma di sistema di tre equazioni: una relativa alla traslazione orizzontale, una relativa alla traslazione verticale ed una relativa alla somma dei momenti attorno ad un polo.

${\begin{cases}-H_{2}=0\\V_{1}+V_{2}-P=0\\-P{\frac {L}{2}}+V_{1}L=0\end{cases}}$

Per l'attribuzione dei segni dei termini delle equazioni ci si riferisce al sistema di riferimento rappresentato in figura (se avessimo scelto altri orientamenti per gli assi avremmo ottenuto altre equazioni, ma gli stessi risultati finali!) e per il calcolo dei momenti si è scelta la cerniera come polo (si poteva scegliere qualunque altro punto, anche esterno alla struttura, come polo attorno al quale valutare i momenti. Per la scelta del polo è conveniente individuare un punto che renda minimi i calcoli.

Risolvendo il sistema otteniamo:

${\begin{cases}H_{2}=0\\V_{2}={\frac {P}{2}}\\V_{1}={\frac {P}{2}}\end{cases}}$

Ridisegnamo la struttura indicando i versi corretti per le reazioni vincolari, tenendo conto del fatto che un risultato negativo è solamente indice del fatto che il verso (attribuito a priori!) della reazione vincolare deve essere invertito rispetto al disegno di partenza. In definitiva la soluzione dell'esercizio è la seguente:

Per chiarire ulteriormente quanto affermato eseguiamo nuovamente l'esercizio utilizzando un altro orientamento per la reazione vincolare $V_{2}$ , come indicato in figura.

In tal caso la scrittura delle equazioni cardinali della statica (scegliamo il carrello come polo per la scrittura della terza equazione) ci porta al sistema

${\begin{cases}-H_{2}=0\\V_{1}-V_{2}-P=0\\+P{\frac {L}{2}}+V_{2}L=0\end{cases}}$

Risolvendo i calcoli otteniamo

${\begin{cases}H_{2}=0\\V_{1}-V_{2}-P=0\\V_{2}L=-P{\frac {L}{2}}\end{cases}}{\begin{cases}H_{2}=0\\V_{1}=+V_{2}+P\\V_{2}=-{\frac {P}{2}}\end{cases}}{\begin{cases}H_{2}=0\\V_{1}={\frac {P}{2}}\\V_{2}=-{\frac {P}{2}}\end{cases}}$

I risultati sono identici a quelli ottenuti in precedenza: il fatto che la reazione $V_{2}$ risulti negativa è solo indice del fatto che il vettore ha verso opposto rispetto a quello scelto. Abbiamo quindi visto come il diverso orientamento delle reazioni vincolari in fase di eliminazione dei vincoli e la scelta del polo per il calcolo dei momenti non influiscono in alcun modo sul risultato finale.

CONSIDERAZIONI: se andiamo ad analizzare i risultati ottenuti vediamo che ognuno dei due vincoli sopporta metà del carico applicato nonostante siano due vincoli diversi; questo comportamento è dovuto al fatto che, essendo la struttura sollecitata da un'azione centrata (il carico P è applicato in mezzeria e non abbiamo altri carichi) ed essendo i due vincoli staticamente identici per quanto riguarda la possibilità di ricevere forze verticali, siamo in un caso di struttura simmetrica. Se provassimo a risolvere lo stesso esercizio considerando però un carico distribuito anziché un carico concentrato arriveremmo alla stessa situazione: il carico verticale si ripartirebbe in modo identico sui due vincoli.

Esercizio n°2

Determinare le reazioni vincolari della struttura.

Anche in questo caso si tratta di una struttura isostatica (due gradi di vincolo introdotti dal pattino, uno dal carrello) e non labile. Sostituiamo i vincoli con le reazioni vincolari.

Scriviamo il sistema di equazioni (in casi come questi "conviene" scegliere come polo per il calcolo dei momenti il punto dove è posizionato il momento incognito).

${\begin{cases}H_{1}=0\\V_{2}-qL=0\\-M_{1}+qL{\frac {L}{2}}-V_{2}L=0\end{cases}}$

Nella terza equazione abbiamo determinato il contributo in termini di momento attribuibile al carico distribuito; per poter trattare il carico distribuito abbiamo prima calcolato il vettore risultante $F=q\cdot L$ che sarò applicato nel baricentro del rettangolo (che sappiamo essere posizionato a metà della base) e abbiamo successivamente moltiplicato F per il suo braccio, ovvero per ${\frac {L}{2}}$ .

Risolvendo il sistema otteniamo:

${\begin{cases}H_{1}=0\\V_{2}=qL\\-M_{1}+{\frac {qL^{2}}{2}}-qL^{2}=0\end{cases}}{\begin{cases}H_{1}=0\\V_{2}=qL\\M_{1}={\frac {qL^{2}}{2}}-qL^{2}=-{\frac {qL^{2}}{2}}\end{cases}}$

La rappresentazione dei risultati in forma grafica:

CONSIDERAZIONE: sul pattino applicato a sinistra non possiamo avere forze agenti in direzione verticale, altrimenti il pattino potrebbe scorrere lungo il suo piano di appoggio. Era quindi ovvio che il carico verticale venisse "accolto" interamente dal carrello.

Esercizio n°3

Determinare le reazioni vincolari della struttura.

Anche in questo caso si tratta di una struttura isostatica (tre gradi di vincolo dell'incastro) e non labile. Sostituiamo vincoli con le reazioni vincolari e introduciamo il "sistema di riferimento" per la determinazione dei segni.

Per la scrittura della terza equazione del sistema risolvente scegliamo come polo il punto dove era posizionato l'incastro (così facendo rendiamo nullo sia il contributo relativo a $V_{1}$ sia quello di $H_{1}$ ).

${\begin{cases}H_{1}-q{\frac {L}{2}}=0\\V_{1}-qL=0\\-M_{1}+qL{\frac {L}{2}}-q{\frac {L}{2}}{\frac {L}{4}}=0\end{cases}}$

Andiamo a valutare i termini della terza equazione:

$qL{\frac {L}{2}}$ è il contributo relativo al carico concentrato di valore $qL$ ed avente braccio pari a ${\frac {L}{2}}$
$q{\frac {L}{2}}{\frac {L}{4}}$ è il contributo relativo al carico distribuito, il cui vettore risultante è uguale a $q{\frac {L}{2}}$ dove ${\frac {L}{2}}$ è la lunghezza del segmento di carico mentre ${\frac {L}{4}}$ è il braccio del risultante, che sappiamo essere posizionato a metà del segmento di carico.

Risolvendo il sistema otteniamo:

${\begin{cases}H_{1}=q{\frac {L}{2}}\\V_{1}=qL\\M_{1}=+{\frac {qL^{2}}{2}}-{\frac {qL^{2}}{8}}={\frac {3}{8}}qL^{2}\end{cases}}$

In forma grafica otteniamo:

CONSIDERAZIONE: possiamo velocemente verificare se i risultati ottenuti sono corretti; una volta determinate le reazioni vincolari scegliamo un punto qualunque (non necessariamente appartenente alla trave) e calcoliamo il momento complessivo attorno a quel polo. Se il risultato ottenuto è nullo abbiamo correttamente determinato le reazioni vincolari; viceversa abbiamo commesso qualche errore (e conseguentemente dovremo risolvere nuovamente l'esercizio). Scegliamo ad esempio come polo per il calcolo del momento complessivo il punto più alto della trave. Otteniamo un'equazione del tipo:

$+q{\frac {L}{2}}{\frac {L}{4}}-qL{\frac {L}{2}}+qL^{2}-q{\frac {L}{2}}{\frac {L}{2}}-{\frac {3}{8}}qL^{2}=$ $+{\frac {qL^{2}}{8}}-{\frac {qL^{2}}{2}}+qL^{2}-{\frac {qL^{2}}{4}}-{\frac {3qL^{2}}{8}}={\frac {qL^{2}-4qL^{2}+8qL^{2}-2qL^{2}-3qL^{2}}{8}}=0$

Esercizio n°4

Determinare le reazioni vincolari della struttura.

Trave singola, struttura isostatica (GdV=3) e non labile. Sostituiamo i vincoli con le reazioni vincolari ed otteniamo:

Scriviamo le equazioni cardinali della statica con riferimento al sistema rappresentato in figura e scegliendo come polo il manicotto (in questo caso, avendo solo una incognita per "tipo", non è necessario aggiungere i pedici 1,2,ecc. alle reazioni vincolari).

${\begin{cases}H=0\\V=0\\M+qL^{2}=0\end{cases}}{\begin{cases}H=0\\V=0\\M=-qL^{2}\end{cases}}$

Le reazioni vincolari consistono solo nel momento relativo al manicotto di valore uguale al momento esterno applicato sulla struttura.

Esercizio n°5

Determinare le reazioni vincolari della struttura.

Trave singola, struttura isostatica (GdV=3) e non labile. Sostituiamo i vincoli con le reazioni vincolari ed otteniamo:

Scriviamo le equazioni cardinali della statica con riferimento al sistema usuale (cambiando il verso di $V_{2}$ in figura) e scegliendo come polo il carrello.

${\begin{cases}-H_{2}=0\\V_{1}-V_{2}=0\\qL^{2}+V_{2}l=0\end{cases}}{\begin{cases}H_{2}=0\\V_{1}=V_{2}\\V_{2}l=-qL^{2}\end{cases}}{\begin{cases}H_{2}=0\\V_{1}=-qL\\V_{2}=-qL\end{cases}}$

Quindi correggendo i vincoli avremo:

CONSIDERAZIONE: le due reazioni vincolari formano quella che si chiama coppia di forze, ovvero due forze di uguale valore poste ad una distanza b, chiamata braccio della coppia. Complessivamente le due forze generano un momento M pari al prodotto dell'intensità della forza per il braccio della coppia. Nel caso in esame il momento della coppia è uguale ed opposto al momento esterno applicato sulla struttura.