Calcolo degli integrali di Riemann

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Calcolo degli integrali di Riemann
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materie:
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Nella lezione precedente abbiamo visto alcuni teoremi che ci permettono di stabilire l'integrabilità o meno di una funzione in base a certi criteri. Tuttavia, una volta stabilita l'integrabilità, si pone spesso il problema di calcolare effettivamente il valore dell'integrale e questa operazione può essere anche molto complessa. Vediamo allora alcuni teoremi e alcune tecniche che ci permettono, se sono rispettate certe condizioni, di ricondurci al caso di integrali più semplici da calcolare.

Algebra degli integrali di RiemannModifica

Siano  :

Somma di integraliModifica

 

cioè l'integrale di una somma è uguale alla somma degli integrali. Infatti, siano   e   due scomposizioni di   qualsiasi e  , cioè   è più fine delle altre due scomposizioni. Abbiamo allora:

 

Dunque

 

D'altra parte

 

In conclusione

 

Ma il primo e l'ultimo membro sono uguali! Dunque tutti questi   sono in realtà uguaglianze ed in definitiva

 

Moltiplicazione di un integrale per un numero realeModifica

 

Infatti, se   (altrimenti l'affermazione è banale), si ha per  :

   

Se  

   

Ordine tra integraliModifica

Supponiamo  

 

Infatti   e di conseguenza  .

Valore assoluto di un integraleModifica

Sia  . Allora

 

Infatti, prendiamo un   e una scomposizione   tale che  . Allora:

  

Per il Teorema di Riemann abbiamo provato che   è integrabile secondo Riemann in  . Osserviamo ora che   e per le proprietà viste sopra abbiamo

 

Dunque

 

TeoremiModifica

Teorema (della media integrale)Modifica

Sia   una funzione integrabile secondo Riemann in  . Poniamo  , allora si ha che

 .


DimostrazioneModifica

Teorema (fondamentale del calcolo integrale)Modifica

Sia  . Poniamo

 

Allora:

  1.   è continua in ogni punto di  .
  2. se   è continua in  , allora   è derivabile in   e si ha
     .
DimostrazioneModifica
  1. Sia   e prendiamo un numero   tale che  . Abbiamo che

 

ove  . Per il Teorema della media integrale abbiamo che  . Dunque
 
Quindi   è continua.
2. Sia   un punto di continuità di  . Preso dunque un numero positivo  , esiste un altro numero positivo   tale che   abbiamo
 

dunque

 Nota:
problema con la dimostrazione. chiedere al prof.

Corollario (integrabilità in ogni punto di un intervallo di funzioni continue)Modifica

Sia   una funzione continua in   e sia   un punto dell'intervallo. Poniamo  , si ha per ogni  ,

 
.


DimostrazioneModifica

Scomponiamo questo integrale come somma di più integrali. Abbiamo:

 

Ora, notiamo che   è una costante reale nella funzione  , dunque poniamo  .

Adesso, abbiamo che

 

.

 


CorollarioModifica

Sia  , allora

 
DimostrazioneModifica

Innanzitutto, essendo   una funzione continua, essa è integrabile secondo Riemann in  . Inoltre   è una primitiva di  , per la definizione di primitiva. Per il precedente corollario

 
 


Teorema (integrabilità delle funzione dotate di primitiva)Modifica

Definiamo il concetto di primitiva di una funzione. Consideriamo una funzione  . Una funzione   derivabile in ogni punto del suo dominio e tale che   si dice primitiva di  .

Per il precedente corollario, sappiamo ora una cosa molto importante: ogni funzione continua ha almeno una primitiva, cioè la sua funzione integrale!

Enunciamo ora il seguente, fondamentale, Teorema:

Sia   ed   una sua primitiva. Allora si ha

 
DimostrazioneModifica

Per ipotesi   è integrabile, dunque per il Teorema di Riemann  . Ora, osserviamo che possiamo scrivere   in termine di scomposizioni, cioè

 

Per il Teorema del valor medio, sappiamo che esiste un  

cioè

 

perché   è una primitiva di  .

Mettendo insieme le due espressioni, otteniamo:

   
   

Dunque,

 
 


Prima di proseguire, è fondamentale tenere bene a mente che l'esistenza di una primitiva non è condizione necessaria per l'integrabilità e nemmeno sufficiente. Infatti esistono funzioni che non hanno primitiva ma sono integrabili, così come esistono funzioni che hanno primitiva ma non sono integrabili secondo Riemann.

Integrazione per partiModifica

Siano  ,   ed   una primitiva di  . Allora

 
DimostrazioneModifica

  sono funzioni derivabili, dunque   e si ha

 
 


Integrazione per sostituzione (o cambio di variabile)Modifica

Sia   e sia   una funzione biiettiva. Allora, se   abbiamo

 
DimostrazioneModifica

Consideriamo   primitiva di   e  . Per le proprietà della derivata di funzione composta si ha che   dunque

 

La funzione è invertibile per ipotesi, dunque, ponendo   e   si ottiene

 

che era ciò che si voleva dimostrare.