Calcolare Numericamente un Integrale (superiori)

Integrazione Numerica

Questo simbolo $\int$ è il simbolo di integrale, quando si scrive un integrale definito bisogna anche specificare due numeri $\int _{a}^{b}$, le due quantità a e b che saranno sostituite da valori numerici esprimono l'intervallo di integrazione ( estremo inferiore e estremo superiore), dopo il simbolo di integrale viene scritta la funzione che deve essere integrata $\int _{a}^{b}f(x)$ e si aggiunge poi dx che è un simbolo che indica rispetto a quale variabile si integra la funzione (nel nostro caso x) complessivamente si ha allora $\int _{a}^{b}f(x)dx$, se la funzione f dipende dal tempo allora l'integrale della f(t) assume la forma $\int _{a}^{b}f(t)dt$. Ora prendiamo una funzione f(x) particolare f(x) = 5sin(2x) + x^2 , l'integrale proprio può assumere la seguente forma

$\int _{0}^{\pi }5sin(2x)+x^{2}\quad dx$

Qual è il significato dell'integrazione di una funzione f(x) nell'intervallo [a,b]

Concetto Integrale finito

essa corrisponde al valore dell'area sottesa alla funzione f(x) nell'intervallo [a,b], cioe' alla parte di area fra l'asse x e i valori assunti dalla f(x) , questa area viene considerata positiva se sopra l'asse x e negativa se sotto l'asse x. Per calcolare numericamente l'area suddividiamo l'intervallo [a,b] in n parti uguali di ampiezza Δx = (b-a)/n e approssimiamo l'area (sottesa alla funzione f(x) )relativa a ciascun Δx con quella di un rettangolo di base Δx e altezza f( valore x punto iniziale rettangolo). Il primo rettangolo ha allora area1=Δx*f(a) il secondo area2= Δx*f(a+Δx) il terzo area3=Δx*f(a+2*Δx) e cosi' via.

calcolare numericamente un integrale finito scomponendolo in rettangoli

Otteniamo quindi che l'area complessiva vale $\sum _{i=0}^{n-1}\Delta x\cdot f(a+i\cdot \Delta x)$ Naturalmente l'area ottenuta' è un valore approssimato dell'area complessiva. Questo metodo di integrazione viene detto integrazione per rettangoli Si poteva integrare numericamente anche suddividendi l'intervallo in n parti uguali e approssimando le aree di ciascun intervallo mediante un trapezio, con altezza Δx e nel caso del primo trapezio prima base f(a) e seconda base f(a+Δx), il secondo trapezio avrà invece altezza Δx , prima base f(a+Δx) e seconda base f(a+2*Δx) e l'area complessiva è allora pari a $\sum _{i=0}^{n-1}(f(a+i\cdot \Delta x)+f(a+(i+1)\cdot \Delta x))\cdot \Delta x/2$ si vede che in questo caso (integrazione mediante trapezi) c'e' una migliore approssimazione rispetto a quella rettangolare,

Calcolo Integrale definito scomponendolo in trapezi

in entrambi i casi si tratta di un valore dell'area approssimato e con una precisione del calcolo maggiore se n è grande (Δx piccolo)

Vediamo di scrivere il programma utilizzando octave che ci permette il calcolo. Naturalmente possiamo imporre una certa precisione p e imporre che il programma aumenti via via il numero n finche l'area complessiva calcolata nel passo k differisca da quella calcolata nel passo k-1 della quantità p

Se la funzione f(x) esprime ad esempio la potenza consumata dagli elettrodomestici della nostra casa l'integrale di detta funzione calcolato fra 2 particolari ore ci permette di valutare l'energia consumata e quindi anche i costi. Se la funzione f(x) esprime l'accelerazione di una macchina possiamo calcolare mediante l'integrazione fra due istanti temporali la variazione della velocità. Il metodo di suddividere l'area di una figura mediante figure geometriche ci permette di valutarne l'estensione e dall'intensità della colorazione possiamo risalire alla concentrazione di una sostanza o al tipo della sostanza.

Si è visto l'approssimazione all'interno di un singolo Δx , prima l'approssimazione della curva f(x) con un tratto orizzontale ( caso dei rettangoli) poi con una retta (caso del trapezio) ma possiamo usare anche una curva parabolica (espressa da una eq di 2 grado), in questo caso l'integrazione numerica avviene con la regola Cavalieri-Simpson

• con octave il comando quad(F,A,B) calcola l'integrale della funzione F nell'intervallo [A,B] con un errore minore a 1.e-6 usando il metodo ricorsivo di Simpson.
• mentre il comando quad(F,A,B,TOL) permette tramite il parametro TOL di specificare una nostra tolleranza