Applicazioni lineari

lezione
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Applicazioni lineari
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Algebra lineare
Avanzamento Avanzamento: lezione completa al 75%

Definizione

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Siano   e    -spazi vettoriali. Definiamo gli omomorfismi tra gli spazi vettoriali con il nome di applicazioni lineari.


Definizione: Applicazione lineare

Si dice applicazione lineare da   a   un omomorfismo tra i due spazi vettoriali, cioè una funzione che gode delle seguenti proprietà:

  •  
  •  


È anche possibile verificare le due proprietà contemporaneamente, cioè verificare se

 

Esempio

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  verificare che sia un'applicazione lineare, cioè verificare se valgono le proprietà di omomorfismo.

Prendiamo allora un altro elemento di    . Verifichiamone le proprietà:

  •  
 
  •  

Dalla definizione, se   o  , abbiamo che

 
 

e da qui sappiamo sempre che  .

Isomorfismo tra   e  

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Sia   una base di  . La funzione

 

associa ad ogni vettore di   le sue coordinate rispetto alla base  .

Dimostrate per esercizio che   è un'applicazione lineare, ma concentriamoci sul fatto che è biunivioca. Infatti ogni vettore   si può scrivere in maniera unica come combinazione lineare dei   e viceversa ogni combinazione di   definisce un vettore di  . Dunque   è biunivoca ed essendo una applicazione lineare, essa è un isomorfismo. Ciò dunque mette in evidenza un fattore molto importante:   e   sono isomorfi tra loro, dunque è possibile lavorare in   con la comodità di maneggiare con valori numerici invece che con vettori.


Esiste anche la funzione identità

 

che è un automorfismo.

Proposizioni sulle applicazioni lineari

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Proposizione:

Sia   un'applicazione lineare,   un generico sottospazio vettoriale di   e   un generico sottospazio di  . Allora:

  1. l'immagine di un sottospazio (di  ) è ancora un sottospazio (di  ), cioè
 ;
  1.  , cioè la controimmagine di un sottospazio vettoriale di   è ancora un sottospazio vettoriale di  ;
  2.   è un omomorfismo.


Nucleo e immagine di  

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Definizione: Nucleo

Si dice nucleo dell'applicazione lineare   il sottospazio

 


L'immagine di   è analoga alla definizione di immagine di una funzione qualsiasi e si denota con  .


Proposizione:

Sia   un'applicazione lineare.   è:

  1. un monomorfismo  ;
  2. un epimorfismo  



Dimostrazione: Proposizione
  1. I
    1.   -   è un monomorfismo e  . Allora  . Dunque l'unico elemento di   è  .
    2.   - Se   e   allora  . Dunque   e siccome per ipotesi l'unico elemento di   è  , implica che   dunque   e questo prova che   è iniettiva.
  2. II
    1.   -   epimorfismo implica, per definizione di suriettività, che  . Dunque per definizione  .
    2.   - Se  , allora per ogni  , che è la definizione di suriettività.



Proposizione:

Sia   un'applicazione lineare e  . Valgono allora le seguenti asserzioni:

  1. Se  , cioè   porta un insieme di generatori di   in un insieme di generatori di  ;
  2. Se   sono linearmente dipendenti allora lo sono anche   e se   sono linearmente indipendente lo sono anche i  ;
  3.   monomorfismo e   linearmente indipendenti lo sono anche i  .



Dimostrazione: Proposizione
  1.  , quindi ogni vettore   è  . Dunque, ogni vettore   è   e per la proprietà di omomorfismo abbiamo  . Essendo   un generico vettore di   possiamo dedurre che tutti i vettori di   si possono scrivere come combinazioni lineari dei   quindi essi generano  .
  2. Essendo linearmente dipendenti esistono dei   non tutti nulli tali che  . Dunque   sono anche linearmente dipendenti perché per ipotesi gli   sono non tutti nulli. Se invece i vettori   sono linearmente indipendenti, allora  . Segue che  , cioè i   si annullano solo quanto tutti i coefficienti sono nulli. Dunque pure i   linearmente indipendenti.
  3.   monomorfismo significa che è una applicazione lineare iniettiva e   linearmente indipendenti per ipotesi. Per la prima proposizione della sezione,   e questo accade per il vettore nullo di   cioè quando gli   sono tutti nulli. Dunque  . Quindi sono linearmente indipendenti anche gli  .


Corollari e Proposizioni su basi e dimensioni

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Corollario:

Sia   una base di  . Allora   genera  . Quindi se   è:

  • un monomorfismo   è una base di  ;
  • un epimorfismo   genera  ;
  • un isomorfismo   è una base di  .
  • un isomorfismo  



Teorema: Unicità dell'applicazione lineare

Sia   una base ordinata di   e   una  -upla di  .

Allora esiste una sola applicazione lineare   tale che  .



Dimostrazione: Teorema dell'unicità dell'applicazione lineare
  • (Esistenza)   porta i   in  , cioè  . Tale funzione è lineare (provate a verificarlo) e dunque esiste l'applicazione lineare.
  • (unicità). Supponiamo che   e   siano due applicazioni lineari  , tali che   e  . Allora
 
 

Dunque  .



Corollario:

Se   gli spazi vettoriali V e W sono isomorfi