Applicazioni lineari
Definizione
modificaSiano e -spazi vettoriali. Definiamo gli omomorfismi tra gli spazi vettoriali con il nome di applicazioni lineari.
Si dice applicazione lineare da a un omomorfismo tra i due spazi vettoriali, cioè una funzione che gode delle seguenti proprietà:
È anche possibile verificare le due proprietà contemporaneamente, cioè verificare se
Esempio
modificaverificare che sia un'applicazione lineare, cioè verificare se valgono le proprietà di omomorfismo.
Prendiamo allora un altro elemento di . Verifichiamone le proprietà:
Dalla definizione, se o , abbiamo che
e da qui sappiamo sempre che .
Isomorfismo tra e
modificaSia una base di . La funzione
associa ad ogni vettore di le sue coordinate rispetto alla base .
Dimostrate per esercizio che è un'applicazione lineare, ma concentriamoci sul fatto che è biunivioca. Infatti ogni vettore si può scrivere in maniera unica come combinazione lineare dei e viceversa ogni combinazione di definisce un vettore di . Dunque è biunivoca ed essendo una applicazione lineare, essa è un isomorfismo. Ciò dunque mette in evidenza un fattore molto importante: e sono isomorfi tra loro, dunque è possibile lavorare in con la comodità di maneggiare con valori numerici invece che con vettori.
Esiste anche la funzione identità
che è un automorfismo.
Proposizioni sulle applicazioni lineari
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Sia un'applicazione lineare, un generico sottospazio vettoriale di e un generico sottospazio di . Allora:
- l'immagine di un sottospazio (di ) è ancora un sottospazio (di ), cioè
- ;
- , cioè la controimmagine di un sottospazio vettoriale di è ancora un sottospazio vettoriale di ;
- è un omomorfismo.
Nucleo e immagine di
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Si dice nucleo dell'applicazione lineare il sottospazio
L'immagine di è analoga alla definizione di immagine di una funzione qualsiasi e si denota con .
Sia un'applicazione lineare. è:
- un monomorfismo ;
- un epimorfismo
- I
- - è un monomorfismo e . Allora . Dunque l'unico elemento di è .
- - Se e allora . Dunque e siccome per ipotesi l'unico elemento di è , implica che dunque e questo prova che è iniettiva.
- II
- - epimorfismo implica, per definizione di suriettività, che . Dunque per definizione .
- - Se , allora per ogni , che è la definizione di suriettività.
Sia un'applicazione lineare e . Valgono allora le seguenti asserzioni:
- Se , cioè porta un insieme di generatori di in un insieme di generatori di ;
- Se sono linearmente dipendenti allora lo sono anche e se sono linearmente indipendente lo sono anche i ;
- monomorfismo e linearmente indipendenti lo sono anche i .
- , quindi ogni vettore è . Dunque, ogni vettore è e per la proprietà di omomorfismo abbiamo . Essendo un generico vettore di possiamo dedurre che tutti i vettori di si possono scrivere come combinazioni lineari dei quindi essi generano .
- Essendo linearmente dipendenti esistono dei non tutti nulli tali che . Dunque sono anche linearmente dipendenti perché per ipotesi gli sono non tutti nulli. Se invece i vettori sono linearmente indipendenti, allora . Segue che , cioè i si annullano solo quanto tutti i coefficienti sono nulli. Dunque pure i linearmente indipendenti.
- monomorfismo significa che è una applicazione lineare iniettiva e linearmente indipendenti per ipotesi. Per la prima proposizione della sezione, e questo accade per il vettore nullo di cioè quando gli sono tutti nulli. Dunque . Quindi sono linearmente indipendenti anche gli .
Corollari e Proposizioni su basi e dimensioni
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Sia una base di . Allora genera . Quindi se è:
- un monomorfismo è una base di ;
- un epimorfismo genera ;
- un isomorfismo è una base di .
- un isomorfismo
Sia una base ordinata di e una -upla di .
Allora esiste una sola applicazione lineare tale che .
- (Esistenza) porta i in , cioè . Tale funzione è lineare (provate a verificarlo) e dunque esiste l'applicazione lineare.
- (unicità). Supponiamo che e siano due applicazioni lineari , tali che e . Allora
Dunque .
Se gli spazi vettoriali V e W sono isomorfi