Applicazioni lineari
Definizione Modifica
Siano e -spazi vettoriali. Definiamo gli omomorfismi tra gli spazi vettoriali con il nome di applicazioni lineari.
Si dice applicazione lineare da a un omomorfismo tra i due spazi vettoriali, cioè una funzione che gode delle seguenti proprietà:
È anche possibile verificare le due proprietà contemporaneamente, cioè verificare se
Esempio Modifica
verificare che sia un'applicazione lineare, cioè verificare se valgono le proprietà di omomorfismo.
Prendiamo allora un altro elemento di . Verifichiamone le proprietà:
Dalla definizione, se o , abbiamo che
e da qui sappiamo sempre che .
Isomorfismo tra e Modifica
Sia una base di . La funzione
associa ad ogni vettore di le sue coordinate rispetto alla base .
Dimostrate per esercizio che è un'applicazione lineare, ma concentriamoci sul fatto che è biunivioca. Infatti ogni vettore si può scrivere in maniera unica come combinazione lineare dei e viceversa ogni combinazione di definisce un vettore di . Dunque è biunivoca ed essendo una applicazione lineare, essa è un isomorfismo. Ciò dunque mette in evidenza un fattore molto importante: e sono isomorfi tra loro, dunque è possibile lavorare in con la comodità di maneggiare con valori numerici invece che con vettori.
Esiste anche la funzione identità
che è un automorfismo.
Proposizioni sulle applicazioni lineari Modifica
Sia un'applicazione lineare, un generico sottospazio vettoriale di e un generico sottospazio di . Allora:
- l'immagine di un sottospazio (di ) è ancora un sottospazio (di ), cioè
- ;
- , cioè la controimmagine di un sottospazio vettoriale di è ancora un sottospazio vettoriale di ;
- è un omomorfismo.
Nucleo e immagine di Modifica
Si dice nucleo dell'applicazione lineare il sottospazio
L'immagine di è analoga alla definizione di immagine di una funzione qualsiasi e si denota con .
Sia un'applicazione lineare. è:
- un monomorfismo ;
- un epimorfismo
- I
- - è un monomorfismo e . Allora . Dunque l'unico elemento di è .
- - Se e allora . Dunque e siccome per ipotesi l'unico elemento di è , implica che dunque e questo prova che è iniettiva.
- II
- - epimorfismo implica, per definizione di suriettività, che . Dunque per definizione .
- - Se , allora per ogni , che è la definizione di suriettività.
Sia un'applicazione lineare e . Valgono allora le seguenti asserzioni:
- Se , cioè porta un insieme di generatori di in un insieme di generatori di ;
- Se sono linearmente dipendenti allora lo sono anche e se sono linearmente indipendente lo sono anche i ;
- monomorfismo e linearmente indipendenti lo sono anche i .
- , quindi ogni vettore è . Dunque, ogni vettore è e per la proprietà di omomorfismo abbiamo . Essendo un generico vettore di possiamo dedurre che tutti i vettori di si possono scrivere come combinazioni lineari dei quindi essi generano .
- Essendo linearmente dipendenti esistono dei non tutti nulli tali che . Dunque sono anche linearmente dipendenti perché per ipotesi gli sono non tutti nulli. Se invece i vettori sono linearmente indipendenti, allora . Segue che , cioè i si annullano solo quanto tutti i coefficienti sono nulli. Dunque pure i linearmente indipendenti.
- monomorfismo significa che è una applicazione lineare iniettiva e linearmente indipendenti per ipotesi. Per la prima proposizione della sezione, e questo accade per il vettore nullo di cioè quando gli sono tutti nulli. Dunque . Quindi sono linearmente indipendenti anche gli .
Corollari e Proposizioni su basi e dimensioni Modifica
Sia una base di . Allora genera . Quindi se è:
- un monomorfismo è una base di ;
- un epimorfismo genera ;
- un isomorfismo è una base di .
- un isomorfismo
Sia una base ordinata di e una -upla di .
Allora esiste una sola applicazione lineare tale che .
- (Esistenza) porta i in , cioè . Tale funzione è lineare (provate a verificarlo) e dunque esiste l'applicazione lineare.
- (unicità). Supponiamo che e siano due applicazioni lineari , tali che e . Allora
Dunque .
Se gli spazi vettoriali V e W sono isomorfi