Anelli e sottoanelli

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Anelli e sottoanelli
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Algebra
Avanzamento Avanzamento: lezione completa al 00%

Definizione e proprieta'

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Sia   un insieme non vuoto, e siano   e   due operazioni binarie di  . La struttura   si dice un anello se   e   godono delle seguenti proprietà:

  1.   è un gruppo abeliano;
  2.   è un semigruppo;
  3.   è distributiva (sia a destra sia a sinistra) rispetto a  .

Se sono soddisfatte le proprietà,   si dice sostegno dell'anello.

Per facilitare la comprensione degli argomenti successivi, si usano per   e   rispettivamente la notazione additiva   e quella moltiplicativa   . Inoltre un anello  , ove possibile, sarà denotato con  . Quindi un anello sarà una struttura   che soddisfa le seguenti proprietà:

  1.   è un gruppo abeliano
  2.   è un semigruppo
  3.  

  si dice gruppo abeliano additivo e   si dice un semigruppo moltiplicativo. Per la proprietà 1., ovviamente risulta essere  . Quindi   e   si dicono permutabili se vale  .

Regole di calcolo in un anello

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Sia   un anello. Allora valgono le seguenti regole del calcolo discendenti dalle proprietà di un anello, che ricordiamo:

  • Da   gruppo abeliano additivo,  :
    •  
    •  
    •  
  • Da   semigruppo moltiplicativo,  :
    •  
    •  

Oltre alle regole sopra citate, ci sono nuove regole ottenute grazie alla proprietà distributiva,  :

  •  ;


  •  ;


  •  ;


  •   e  ;


  •  .

Elementi di calcolo combinatorio

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Riprendiamo alcuni argomenti di teoria degli insiemi. Se   e   sono due insiemi finiti, con   si intende il numero degli elementi di  , con   l'insieme delle parti di  , con   l'insieme delle applicazioni di   in   e con   il gruppo delle permutazioni di  . Inoltre se   è una relazione d'equivalenza in  , allora   è l'insieme quoziente di   su  .

Ricordiamo alcuni risultati generali (senza dimostrazione):

  1.  
  2. Siano   e   due insiemi finiti e non vuoti, con  . Allora esistono applicazioni iniettive di   in  , e il loro numero è  
  3. Siano   e   due insiemi infiniti. Allora:
    •  
    •  
  4. Se   è un insieme finito e   è una relazione d'equivalenza in   tale che per ogni   accade che  , allora:  

Sia   un insieme costituito da   elementi. Per ogni  ,   possiede sottoinsiemi di   elementi. Una  -parte di   è un sottoinsieme di   costituito da   elementi.

Con   si denota il numero delle  -parti di  , che si legge "n su k" e si chiama coefficiente binomiale d'ordine n e indice k.

Per ogni   e per ogni  , valgono le seguenti uguaglianze:

  •    ;    ;  

Una proposizione importante è la seguente (senza dimostrazione):
 

Teorema binomiale

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Adesso si può procedere al famoso:

Teorema: Teorema binomiale (o regola di Newton)

Siano   elementi permutabili di un anello  . Allora per ogni intero   si ha:
 


Come immediata conseguenza, se l'anello   è commutativo, ossia se il monoide moltiplicativo è commutativo, allora la formula vale per ogni   e   in  .

zero divisori, domini e campi

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Quando il prodotto di due numeri è zero, allora ci viene automatico pensare che se il prodotto è nullo uno dei due fattori (o tutti e due) è certamente nullo. E questo vale in   e in qualsiasi altro campo e dopo vedremo il motivo. Ma non è valido in generale per tutti gli anelli e quando un numero b non nullo, moltiplicato per un altro numero a non nullo anch'esso da come risultato 0, b viene detto zero-divisore .

La cosa a prima vista può lasciare perplessi (essendo di solito abituati a lavorare con i numeri reali), ma ora vedremo un esempio pratico che mostrera' come effettivamente esistono anelli contenenti elementi non nulli divisori dello zero. Prendiamo l'insieme  , cioè l'anello delle classi di resto modulo 6. Vediamo innanzitutto che sia un anello e di che tipo sia. Ma per fare questo è necessario considerare il caso generale.

  •   riguardo l'addizione è certamente un gruppo abeliano perché abbiamo visto che in   l'addizione tra interi è compatibile con la congruenza. È quindi possibile sommare classi di resto come sommare interi e quindi abbiamo visto che   è un gruppo (abeliano, oltretutto).
  • verifichiamo ora innanzitutto che anche l'operazione prodotto tra interi sia compatibile con la congruenza. Verifichiamo quindi che

  Possiamo allora scrivere le due congruenze come   Svluppando i calcoli otteniamo  

Quindi la moltiplicazione di interi è compatibile con la congruenza modulo n e possiamo definire il monoide commutativo   e quindi ottenere che  . Infatti, essendo valide la proprieta' del monoide moltiplicativo degli interi (elemento neutro, commutatività e proprieta' associativa) esse continueranno ad essere valide anche per   avendo infatti appena verificato che la relazione di congruenza e la moltiplicazione di interi sono compatibili.

Tornando al nostro esempio di  , in baso alla dimostrazione precedente, esso sarà quindi "composto" da il gruppo abeliano   e il monoide commutativo   ed è perciò un anello commutativo con 6 elementi, ovvero   Questo anello ha degli elementi zero-divisori, ovvero elementi diversi da zero il cui prodotto è invece proprio zero. Per dimostrarlo ci basta far vedere, con un controesempio, che è falso che non esistono in questo anello degli zero-divisori. E ci basta prendere, ad esempio,  . Abbiamo quindi visto che in   esistono degli elementi non nulli che moltiplicati tra loro danno invece l'elemento nullo.

Diamo ora alcune importanti definizioni:

  1. Un anello che non ha elementi zero divisori si dice dominio di integrità
  2. Un anello i quali elementi diversi da zero formano due gruppi (additivo e moltiplicativo) si chiama corpo
  3. Un corpo commutativo si chiama campo

Avevamo prima detto che viene naturale pensare che quando abbiamo zero come risultato di un prodotto, allora uno dei due fattori o tutti e due sono nulli. Questo perché siamo abituati a ragionare con i numeri reali, che sono un campo. Ebbene, dimostriamo che ogni campo è un dominio di integrità, ovvero che ogni campo non ha zero-divisori. Infatti sia   un campo. Allora per ogni   si possono presentare due casi per il quale  

  • se   non c'e' nulla da dimostrare. il prodotto tra a e b è ovviamente zero.
  • se invece a non è nullo, essendo appartenenti ad un campo, esistera' certamente   quindi

 

Quindi, in un campo, il prodotto nullo implica necessariamente che uno dei due fattori (o entrambi) sia nullo e quindi è un dominio di integrità.