Analisi statica di sistemi di travi piane

Una volta definita la labilità, isostaticità o iperstaticità della struttura è possibile procedere all'analisi statica della stessa. L'analisi statica di una struttura labile (o della parte di struttura labile), tuttavia, non ha senso dal momento che per definizione di struttura labile essa possiede delle componenti di spostamento e per questo motivo non rientra nel caso della statica.

Per fare l'analisi statica di una struttura è necessario prima di tutto conoscere tutte le azioni che su di essa agiscono. In generale per una data struttura sono noti i carichi esterni agenti sulla stessa, mentre sono ignote le reazioni vincolari.

Le reazioni vincolari

Se si considera che la struttura nel suo complesso deve essere in equilibrio, si comprende immediatamente che i carichi esterni e le reazioni vincolari devono nel loro complesso soddisfare le condizioni di equilibrio.

Si consideri ad esempio una trave di lunghezza $l$ caricata da un carico $P$ concentrato in mezzeria e vincolata agli estremi per mezzo di una cerniera fissa e di un carrello.

Tralasciando le considerazioni relative all'isostacità della struttura così definita, che comunque risulta essere isostatica a vincoli efficaci, il passo successivo è verificare che vengano soddisfatte le equazioni cardinali della statica. Si procede, perciò, a sostituire ai vincoli le corrispondenti reazioni vincolari

Detta $H_{A}$ la componente orizzontale della reazione della cerniera fissa, $V_{A}$ quella verticale e $V_{B}$ quella del carrello, deve essere:

${\begin{cases}H_{A}=0\\V_{B}+V_{A}-P=0\\P{\frac {l}{2}}-V_{B}l=0\end{cases}}\to {\begin{cases}H_{A}=0\\V_{A}={\frac {P}{2}}\\V_{B}={\frac {P}{2}}\end{cases}}$

Si sono, cioè, definite tutte le reazioni vincolari.

Si fa notare che i versi delle reazioni vincolari sono stati scelti in maniera del tutto arbitraria: la reazione ad esempio del carrello poteva essere anche presa diretta verso il basso. In questo caso, tuttavia, a valle di tutti i calcoli si sarebbe giunti a definire un valore di $V_{B}$ negativo, che ci avrebbe indicato che la reale direzione della reazione vincolare è quella opposta a quella inizialmente supposta.

Reazione vincolare nei sistemi di travi

Si consideri una struttura composta da due travi ciascuna di lunghezza $l$ la prima vincolata per mezzo di un incastro ad un estremo e la seconda per mezzo di un carrello, e unite tra loro per mezzo di una cerniera. Si supponga che nella mezzeria di ognuna delle due travi agisca un carico concentrato uguale di intensità $P$

Procedendo in modo del tutto analogo a quanto fatto in precedenza, si tralascia di fare le considerazioni relative all'isostacità della struttura, valutazioni che comunque si ricordano essere necessarie preliminarmente a queste analisi. In ogni caso, la strutturà risulta essere in ogni sua parte isostatica a vincoli efficaci.

Si sostituiscono, dunque, i vincoli con le rispettive reazioni vincolari

Per chiarezza grafica le reazioni sono state in alcuni casi spostate dalla loro reale posizione, come le reazioni della cerniera interna, ma si ricorda che esse in realtà agiscono esattamente in corrispondenza del vincolo stesso. Si osserva, inoltre, che un vincolo interno (la cerniera nell'esempio) reagisce per mezzo di reazioni vincolari "doppie", dal momento che il vincolo non fornisce una reazione assoluta ma un'azione mutua tra le due parti della struttura. In pratica, le reazioni indicate nella parte immediatamente a destra del vincolo sono le azioni che la parte di struttura a sinistra del vincolo stesso oppone alla restante parte, e viceversa per le altre. Queste forze, poi, sono uguali ed opposte tra loro, per il principio di azione e reazione.

Dette $M_{A},V_{A},H_{A}$ le componenti della reazione vincolare dell'incastro, $H_{B,dx}=H_{B;sx}=H_{B},V_{B,dx}=V_{B,sx}=V_{B}$ quelle della cerniera interna e $V_{C}$ la reazione del carrello, è necessario che siano rispettate per l'intero corpo e per le porzioni dello stesso le equazioni cardinali della statica. Per convenienza di calcolo (ma il risultato sarebbe lo stesso risolvendo il problema in qualsiasi altro modo), si consideri l'equilibrio della parte di struttura a destra della cerniera interna:

${\begin{cases}H_{B}=0\\V_{B}-P+V_{C}=0\\P{\frac {l}{2}}-V_{C}l=0\end{cases}}\to {\begin{cases}H_{B}=0\\V_{B}={\frac {P}{2}}\\V_{C}={\frac {P}{2}}\end{cases}}$

Si sono, cioè, determinate tutte le reazioni vincolari relative alla porzione di destra della struttura. Si comprende ora per quale motivo si è scelto di iniziare l'analisi proprio da questa porzione di struttura. Per comprendere come sia possibile capire a colpo d'occhio da dove conviene iniziare l'analisi si osserva che in questo caso la porzione di struttura a destra presenta esattamente le medesime caratteristiche del problema precedentemente affrontato, per cui è possibile sapere a priori che risolvendo questa porzione di struttura si è a conoscenza di tutte le reazioni vincolari che su di essa agiscono. In ogni caso conviene ripetere che iniziare l'analisi da un'altra parte della struttura (considerandola nella sua interezza o la sua porzione sinistra) non pregiudica la fattibilità dell'analisi o il suo risultato, ma semplicemente impone di portare avanti nelle analisi delle incognite che tuttavia vengono trovate nel seguito.

Si consideri ora la parte di struttura a sinistra della cerniera.

${\begin{cases}H_{A}+H_{B}=0\\V_{A}-P-V_{B}=0\\P{\frac {l}{2}}+V_{B}l-M_{A}=0\end{cases}}$

Sostituendo i valori noti si ottiene

${\begin{cases}H_{A}+0=0\\V_{A}-P-{\frac {P}{2}}=0\\P{\frac {l}{2}}+{\frac {P}{2}}l-M_{A}=0\end{cases}}\to {\begin{cases}H_{A}=0\\V_{A}={\frac {3P}{2}}\\M_{A}=Pl\end{cases}}$

Si sono, dunque, definite tutte le reazioni vincolari agenti sulla struttura, che essendo tutte di segno positivo hanno esattamente il verso supposto.

In definitiva le procedure per la definizione delle reazioni vincolari in strutture costituite da sistemi di travi sono identiche a quelle per la trave singola, a meno di considerare il fatto che i principi della statica devono qui valere anche per ogni singola porzione della struttura stessa e non solo per la struttura nel suo complesso.

Le reazioni vincolari nelle strutture iperstatiche

Si consideri ora una trave di lunghezza $l$ caricata in mezzeria da un carico $P$ e vincolata agli estremi da un incastro e da un carrello

La trave può dimostrarsi essere una volta iperstatica a vincoli efficaci. Come in precedenza, si procede a sostituire i vincoli con le rispettive reazioni vincolari

Dette $V_{A},H_{A},M_{A}$ le componenti della reazione dell'incastro e $V_{B}$ la reazione del carrello, deve essere:

${\begin{cases}H_{A}=0\\V_{A}-P+V_{B}=0\\M_{A}-P{\frac {l}{2}}+V_{B}l=0\end{cases}}$

Appare subito ovvio che la risoluzione di questo sistema di equazioni è impossibile, dal momento che le incognite sono quattro mentre le equazioni a disposizione sono tre. In particolare la differenza tra le incognite del problema e le equazioni a disposizione è esattamente pari al grado di iperstaticità della struttura (o della parte di struttura).

A parte $H_{A}=0$, tutte le altre reazioni vincolari restano ignote, e cioè ognuna delle infinite terne di valori $V_{A},V_{B},M_{A}$ che soddisfano le equazioni precedenti sono in grado di garantire l'equilibrio. Una struttura iperstatica è, cioè, staticamente indeterminata, e per la sua risoluzione è necessario imporre ulteriori condizioni oltre all'equilibrio, e in particolare devono imporsi delle condizioni di congruenza, e cioè relative alla deformazione della struttura stessa.

Se invece di avere un carrello nell'estremo destro della struttura si fosse avuta una cerniera, anche $H_{A}$ sarebbe stata indeterminata, e in particolare si avrebbero avute cinque incognite in tre equazioni, a dimostrazione del fatto che il grado di iperstaticità della struttura (2) è pari alla differenza tra le incognite del problema e le equazioni risolutive (5-3).

Casi particolari delle travi labili

Si consideri una trave di lunghezza $l$ caricata in mezzeria da un carico concentrato $P$ e vincolata agli estremi da due carrelli

La trave in questione è sicuramente labile. Tuttavia essa è in equilibrio per la particolare condizione di carico: dal momento che su di essa non agiscono forze orizzontali, la stessa non presenta alcun cinematismo, per quanto potenzialmente possa mostrarlo. In questa particolare condizione di carico, quindi, è possibile procedere con l'analisi statica della trave e giungere a definire le reazioni vincolari che agiscono sulla stessa

${\begin{cases}V_{A}-P+V_{B}=0\\P{\frac {l}{2}}-V_{B}l=0\end{cases}}\to {\begin{cases}V_{A}={\frac {P}{2}}\\V_{B}={\frac {P}{2}}\end{cases}}$