Equazioni cardinali della statica

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Introduzione

Le equazioni cardinali della statica (ECS) sono le relazioni che caratterizzano lo stato di staticità (moto a velocità nulla o a secco di un corpo) . A livello pratico, tali equazioni sono alla base della ricerca delle relazioni e dei valori delle reazioni vincolari. Le applicheremo a generici sistemi tridimensionali e a sistemi bidimensionali (ma in forma ridotta).

Le equazioni cardinali della statica sono sufficienti per risolvere completamente e univocamente sistemi isostatici (GdV = GdL), mentre non sono sempre sufficienti per risolvere sistemi iperstatici (GdV > GdL), perché caratterizzati da un numero di vincoli (e dunque di reazioni vincolari incognite) maggiore dei gradi di libertà (e dunque del numero di equazioni indipendenti). Per i sistemi iperstatici esistono tuttavia altri sistemi risolutivi che studieremo in seguito.

Sistemi bidimensionali

I gradi di libertà di un corpo solido in uno spazio bidimensionale (piano) sono solo tre: le due traslazioni lungo due assi indipendenti e la rotazione sul piano (ovvero attorno all'asse perpendicolare al piano). Di conseguenza avremo tre equazioni.

${\begin{cases}\sum F_{x}=0\\\sum F_{y}=0\\\sum M=0\end{cases}}$

Ovvero la sommatoria di tutte le forze orizzontali (F_x) è nulla, come anche la sommatoria di tutte le forze verticali (F_y) e di tutti momenti (M) calcolati tutti in un qualunque punto P del piano.

Se queste relazioni non si verificassero per un qualunque corpo o punto materiale nel piano, vorrebbe dire che tale corpo è soggetto ad una forza (o momento) risultante, che produrrebbe un'accelerazione del corpo stesso.

Sistemi tridimensionali

Per i sistemi tridimensionali - caso più generale - il gruppo di equazioni è più numeroso, poiché i gradi di libertà nello spazio 3D sono 6: tre traslazioni lungo tre assi indipendenti, più tre rotazioni attorno a tre assi indipendenti.

Stabilito un sistema di riferimento x-y-z , le equazioni sono dunque:

${\begin{cases}\sum F_{x}=0\\\sum F_{y}=0\\\sum F_{z}=0\\\sum M_{x,a}=0\\\sum M_{y,b}=0\\\sum M_{z,c}=0\end{cases}}$

Ovvero:

• sono nulle le sommatorie delle forze lungo gli assi x, y e z (F_x, F_y, F_z)
• sono nulle le sommatorie dei momenti attorno agli assi x, y e z (rispettivamente M_x, M_y, M_z) calcolati tutti in un qualunque punto a, b e c dei rispettivi piani di rotazione (rispettivamente y-z, x-z, x-y).

Esempio di ricerca delle reazioni vincolari con le ECS

Fig.1 Sistema a leva

Fig.2 Sistema di riferimento adottato come convenzione di questo corso

Calcoliamo le reazioni vincolari a terra del sistema a leva in Fig.1, dato il valore di F=100N, L1=3m e L2=1m.

Il sistema - che è iperstatico - presenta due vincoli (cerniere) che sarebbero in grado di opporre entrambe una forza di reazione orizzontale ed una verticale. Tuttavia il sistema non presenta forze esterne orizzontali e perciò nemmeno conseguenti reazioni vincolari orizzontali.

Dunque le uniche reazioni vincolari non nulle sono le due verticali (R_A in A e R_B in B). Utilizziamo a questo punto le ECS, basandoci, per i segni delle forze e del momento, sul sistema di riferimento definito in Fig.2 e sulle direzioni delle forze indicate nella Fig.1:

${\begin{cases}\sum F_{H}=0&{\mbox{Non è presente nessuna forza orizzontale}}\\\sum F_{V}=-R_{A}+R_{B}-F=0\\\sum M_{A}=R_{A}\cdot 0+R_{B}\cdot L_{1}-F\cdot (L_{1}+L_{2})=0&{\mbox{Momento calcolato in A}}\end{cases}}$

Risolvendo il sistema si ottiene:

${\begin{cases}R_{B}=R_{A}+F\\R_{B}\cdot L_{1}-F\cdot (L_{1}+L_{2})=0\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}R_{B}=R_{A}+F\\(R_{A}+F)\cdot L_{1}-F\cdot (L_{1}+L_{2})=0\end{cases}}\Rightarrow$

$\Rightarrow {\begin{cases}R_{B}=R_{A}+F&=F\cdot {\frac {L_{2}+L_{1}}{L_{1}}}=133,33N\\R_{A}={\frac {F\cdot (L_{1}+L_{2})-F\cdot L_{1}}{L_{1}}}&=F\cdot {\frac {L_{2}}{L_{1}}}=33,33N\end{cases}}$