Algebra delle derivate

lezione
Algebra delle derivate
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Algebra

Come per l'algebra dei limiti, in questa lezione vedremo le principali operazioni eseguibili sulle derivate di funzioni a variabile reale.

Somma di derivateModifica

Sia   e   funzioni derivabili in  . Allora   è derivabile in   e si ha:

 


DimostrazioneModifica

  il cui primo addendo tende a   e il secondo addendo tende a  , per  .

Moltiplicazione di derivateModifica

Sia   e   funzioni derivabili in  . Allora   è derivabile in   e si ha:

 

DimostrazioneModifica

 

 

E quindi:  

Quoziente di derivateModifica

Sia   e   funzioni derivabili in   sia inoltre  . Allora   è derivabile in   e si ha:

 


DimostrazioneModifica

         

Dunque:    .

Derivazione di funzioni composteModifica

Siano  . Sia inoltre   e   derivabile in  . Infine sia   e   derivabile in  . Allora   è derivabile in   e si ha:

 


DimostrazioneModifica

 

  è derivabile in  , quindi è continua in  , ossia:

 

Derivata delle funzioni inverseModifica

Sia   un intervallo,   strettamente monotona, quindi invertibile, con   la sua inversa. Sia   e   derivabile in  , con  . Allora   è derivabile in  , e si ha:

 


DimostrazioneModifica

Si ottiene immediatamente come caso particolare della derivata della funzione composta.

EsempiModifica