Algebra delle derivate

Come per l'algebra dei limiti, in questa lezione vedremo le principali operazioni eseguibili sulle derivate di funzioni a variabile reale.

lezione
lezione
Algebra delle derivate
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Algebra

Somma di derivate

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Sia   e   funzioni derivabili in  . Allora   è derivabile in   e si ha:

 


Dimostrazione

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  il cui primo addendo tende a   e il secondo addendo tende a  , per  .

Moltiplicazione di derivate

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Sia   e   funzioni derivabili in  . Allora   è derivabile in   e si ha:

 

Dimostrazione

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E quindi:  

Quoziente di derivate

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Sia   e   funzioni derivabili in   sia inoltre  . Allora   è derivabile in   e si ha:

 


Dimostrazione

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Dunque:    .

Derivazione di funzioni composte

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Siano  . Sia inoltre   e   derivabile in  . Infine sia   e   derivabile in  . Allora   è derivabile in   e si ha:

 


Dimostrazione

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  è derivabile in  , quindi è continua in  , ossia:

 

Derivata delle funzioni inverse

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Sia   un intervallo,   strettamente monotona, quindi invertibile, con   la sua inversa. Sia   e   derivabile in  , con  . Allora   è derivabile in  , e si ha:

 


Dimostrazione

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Si ottiene immediatamente come caso particolare della derivata della funzione composta.