Algebra degli schemi a blocchi (superiori)

L'algebra degli schemi a blocchi è quel ramo dell'elettronica che studia i sistemi elettronici da un punto di vista astratto, considerando ogni componente come un blocco e osservando il suo comportamento ingresso/uscita.

Applicazioni tipiche sono presso la teoria dei sistemi e i sistemi di controllo automatici.

Quanto segue è propedeutico alla comprensione dei controllori sia elettronici, sia di altra natura.

Nodo

Un nodo è una diramazione in più punti di un segnale. Serve a copiare l'informazione in più vie che avranno poi la rispettiva strada da seguire. Ricordando il secondo principio di Kirchhoff, la tensione (equivalente al segnale) sarà la stessa su ogni diramazione.

Pertanto un nodo può connettere un numero di ramificazioni teoricamente illimitate condividendo la medesima informazione.

Un nodo, talvolta, viene detto nodo di diramazione quando serve a copiare l'informazione in più vie che avranno poi la rispettiva strada da percorrere.

Pertanto, si ha:

$V_{1}=V_{2}=V_{3}=\cdots$

Somma

Un altro dei principali simboli usato nei diagrammi a blocchi è il sommatore. È bene ricordare che si fa riferimento sempre a un sommatore algebrico, quindi andrà sempre specificato il segno: se i segnali devono essere sommati o sottratti. Naturalmente, il sommatore può sommare/sottrarre più di due segnali e produrre la relativa uscita. Banalmente, questo lo si ottiene inserendo più sommatori in cascata.

Anche in situazioni complesse, dove si presenta la necessità di sommare numerosi segnali, questa operazione potrà essere eseguita sommando – al segnale di partenza – un segnale alla volta.

Blocchi in cascata

I blocchi eseguono operazioni complicate a piacere sui segnali in ingresso. Possono essere disposti tra loro in sostanzialmente tre modi: a cascata , in parallelo e in retroazione.

Due blocchi si dicono a cascata quando nel diagramma si trovano l'uno di seguito all'altro, senza nodi sommatori intermedi tra un blocco e il successivo (sia in ingresso, sia in uscita) .

Due blocchi si dicono a cascata quando nel diagramma si trovano l'uno di seguito all'altro.

In questo caso l'ingresso $I$ viene elaborato dal blocco $G(s)$; successivamente l'uscita del blocco $G(s)$ viene elaborata dal blocco $H(s)$. In questo caso, i due blocchi possono essere sostituiti dal blocco $G(s)\cdot H(s)$. Si ha:
${\begin{cases}U'=G(s)\cdot I\\U=H(s)\cdot U'\end{cases}}\Rightarrow U=G(s)\cdot H(s)\cdot I$

Blocchi in parallelo

Viceversa, due blocchi si dicono in parallelo quando prima di questi si trova un nodo di diramazione, successivamente il segnale d'ingresso viene elaborato da due blocchi differenti $G(s)$ e $H(s)$, dove - successivamente - le uscite si sommano.

Due blocchi si dicono in parallelo quando prima di questi si trova un nodo di diramazione e questi due blocchi sono in rami diversi.

In questo caso si ottiene:

${\begin{cases}U'=G(s)\cdot I\\U''=H(s)\cdot I\end{cases}}\Rightarrow U=U'+U''=G(s)\cdot I+H(s)\cdot I=[G(s)+H(s)]\cdot I$

Retroazione negativa

La dilatazione della pupilla agisce come una retroazione negativa per regolare la quantità di luce che entra nell'occhio. All'aumentare della luminosità, la pupilla si restringe; al diminuire, si dilata.

Due blocchi si dicono in retroazione negativa quando l'uscita del sistema $G(s)$ viene riportata in ingresso attraverso il blocco di controllo $H(s)$ detto controllore, e origina la variabile errore $e$, pari a:

$e=I-U\cdot H(s).$

Da notare che l'uscita viene sottratta all'ingresso (dopo un'eventuale blocco che - tipicamente - converte la grandezza fisica in uscita $U$ in un'altra, compatibile col segnale di ingresso $I$.

A questo punto, l'uscita sarà pari a:

$U=e\cdot G(s)=[I-U\cdot H(s)]\cdot G(s).$

Con un po' di algebra, si ottiene:

$U=I\cdot G(s)-U\cdot G(s)H(s),$

$U+U\cdot G(s)H(s)=I\cdot G(s),$

raccogliendo la variabile $U$, si ottiene:

$U[1+G(s)H(s)]=I\cdot G(s).$

Finalmente, la funzione di trasferimento, data dal rapporto uscita/ingresso, pari alla funzione di trasferimento del sistema controllato, è pari a:

${\frac {G(s)}{1+G(s)H(s)}}.$

Due blocchi si dicono in retroazione quando l'ingresso di uno dipende dall'uscita dell'altro.