Questo glossario sui polinomi comprendere termini e concetti relativi a queste entità che rivestono grande importanza per svariati sviluppi della matematica e delle sue applicazioni.
Nel titolo e nel testo delle voci, per “polinomio” si intende, se non altrimenti specificato, un polinomio algebrico in una sola variabile
Si chiama polinomio algebrico nelle variabili x1, x2, x3,….., xk, una combinazione lineare di potenze intere delle variabili suddette. In particolare un polinomio algebrico di grado (o ordine) n nella sola variabile x è rappresentabile con
Polinomi in più variabiliche che hanno applicazioni nell'analisi combinatoria: i coefficienti di questi polinomi forniscono il numero di partizioni in cui un insieme di n elementi può essere suddiviso in due o più parti.
Per esempio il polinomio di BellB6,2(x1, x2, x3, x4, x5) fornisce il numero partizioni in cui un insieme di 6 elementi può essere diviso in due gruppi. Siccome
significa che un insieme di 6 elementi può essere suddiviso in 6 modi diversi (coefficiente di ) in due parti rispettivamente di 5 e 1 elementi, oppure in 15 modi diversi in due parti rispettivamente di 4 e 2 elementi, oppure in 10 modi diversi in due gruppi di 3 elementi ciascuno.
I polinomi di Bernoulli sono definiti in modo iterativo e consentono di calcolare la somma delle k-esime potenze dei primi n interi, note le somme delle precedenti (k-1)-esime potenze degli stessi numeri. Utilizzati nello studio della funzione zeta di Riemann e di altre funzioni speciali, sono strettamente legati ai numeri di Bernoulli.
Con il termine calcolo umbrale si indica una notazione che permette di trattare identità su successioni numeriche considerando gli indici dei componenti come se fossero esponenti. Questo metodo, anche se privo di completi e rigorosi fondamenti, si rivela spesso efficace.
Attualmente il calcolo umbrale viene principalmente utilizzato per lo studio delle sequenze di Sheffer
Per approfondire questo argomento, consulta la pagina Calcolo umbrale.
Il polinomio caratteristico di una matrice rispetto ad una variabile x è il determinante della matrice ottenuta sottraendo alla matrice data il prodotto fra lo scalare x e la matrice identità: pA(x) = det (A - xI) , dove A è la matrice data e I è la matrice identità.
Le radici del polinomio caratteristico sono gli autovalori della matrice associata
I polinomi ciclotomici nella variabile x, costituiscono una sequenza polinomiale. L’n-esimo polinomio ciclotomico è il polinomio formato dalle radici n-esime primitive dell'unità. Le radici primitive dell'unità sono quelle che generano l'intero gruppo delle radici n-esime dell'unità, ovvero sono quelle che, se m < n, si ha xm ≠ 1 mentre, ovviamente, xn = 1
Ha importanza per i polinomi in quanto lo sviluppo delle potenze dei binomi può essere espresso mediante i coefficienti binomiali (vedere il teorema binomiale)
Valori costanti (numeri) dei singoli monomi. Ogni monomio ha un solo coefficiente. Il coefficiente del monomio di grado massimo prende il nome di coefficiente direttore, mentre quello del monomio di grado zero prende il nome di termine noto
Per approfondire questo argomento, consulta la pagina Polinomio.
Estensione ai polinomi del concetto di congruenza modulo n definita sui numeri reali.
Due polinomi P(x) e Q(x) nella variabile intera x , si dicono congrui modulo n, dove n è un intero positivo, se per ogni valore di x, intero, assumono valori congrui mod n, vale a dire che P(x) – Q(x) 0 mod n.
Due numeri sono congrui mod n se e solo se divisi per n hanno lo stesso resto
Criterio per determinare il numero di radici con parte reale positiva di un polinomio in una variabile con radici complesse. È una generalizzazione della regola di Cartesio (applicabile solo ai polinomi con radici reali). Il criterio prevede l'utilizzo di matrici e determinanti
Tecnica di calcolo che permette di trasformare il rapporto tra due polinomi P(x) e Q(x), di cui ‘'P’' abbia grado inferiore di ‘'Q’', nella somma di più rapporti di polinomi di grado inferiore a quelli dati
Polinomio in cui tutti i coefficienti e tutte le variabili sono numeri interi. Polinomi diofantei in più variabili potrebbero non avere radici (intere) come per esempio quando (ultimo teorema di Fermat)
Disequazione, ovvero relazione d'ordine di disuguaglianza fra due polinomi ad una o più incognite e ricerca dei valori (generalmente intervalli) delle incognite che soddisfano questa relazione.
Una disequazione fra due polinomi può sempre essere trasformata in una disequazione di cui uno dei due polinomi (membri della disequazione) è uguale a 0 . Sotto questa forma la disequazione si dice:
lineare se il polinomio non nullo è di grado ‘'1’';
Due polinomi A(x) e B(x) nella variabile x, di cui il primo abbia grado maggiore o uguale al secondo, possono essere divisi fra di loro per ottenere un polinomio quoziente Q(x) e un polinomio resto R(x) per i quali vale la relazione A(x) = B(x)Q(x) + R(x) (il grado di quest'ultimo è inferiore a quello del polinomio divisore).
Se i polinomi hanno i coefficienti appartenenti ad un campo (per esempio numeri reali o complessi), quoziente e resto sono unici per ogni coppia di polinomi
Una equazione è una uguaglianza fra due espressioni matematiche verificata per particolari valori di una i più quantità variabili dette incognite. Se le due espressioni messe a confronto sono polinomi algebrici, l'equazione si dice algebrica.
Un'equazione algebrica si può sempre riportare al caso in cui uno dei due polinomi di confronto sia il polinomio nullo (zero).
Il grado di una equazione algebrica è il grado del polinomio non nullo, considerato solo nelle incognite (quindi escluse altre variabili o parametri)
Funzioni matematiche esprimibili tramite un polinomio in una o più variabili. Per esempio la funzione polinomiale rappresenta una retta, rappresenta un piano
Il grado di un monomio è la somma degli esponenti dei suoi elementi simbolici (variabili). Un monomio costante (costituito solo da un numero) è di grado zero.
Polinomio in cui tutte le radici sono numeri complessi aventi parte reale negativa. Per essere di Hurwitz, è necessario, ma non sufficiente, che tutti i coefficienti del polinomio siano positivi; viceversa, siccome tutte le radici del polinomio si trovano nella parte sinistra del piano complesso, per essere di Hurwitz è necessario e sufficiente che il polinomio soddisfi il criterio di Routh-Hurwitz
Un polinomio è invertibile se ne esiste un altro che moltiplicato con il primo dà, come prodotto, l'unità. Ogni polinomio che sia un monomio costante è invertibile. Si può dimostrare che le costanti sono gli unici polinomi invertibili
Per approfondire questo argomento, consulta la pagina Polinomio.
Un polinomio è irriducibile se non esistono due polinomi (di grado inferiore) che moltiplicati fra loro diano il polinomio dato. La riducibilità o meno di un polinomio dipende fortemente dal campo a cui appartengono i coefficienti: per esempio il polinomio è irriducibile in campo reale, mentre è riducibile in campo complesso:
La matrice di Sylvester è una matrice quadrata associata ad una coppia di polinomi in una variabile, che permette di verificare se i polinomi hanno un fattore comune non costante. La matrice, il cui ordine è la somma dei gradi dei due polinomi, si ottiene scrivendo nella prima riga i coefficienti dei polinomi, riempita a destra con “zeri” per gli elementi mancanti, e nelle righe successive gli stessi valori permutati ciclicamente; infine le ultime righe si costruiscono in modo analogo con i coefficienti del secondo polinomio
Monomi che differiscono soltanto per la parte costante, mentre hanno identiche parti letterali. Due monomi simili possono essere sommati e formare un ulteriore monomio, simile ai primi due, in cui la parte costante è la somma delle costanti degli addendi
Per approfondire questo argomento, consulta la pagina Monomio.
Un monomio è una espressione matematica costituita da una costante presa in una struttura algebrica (tipicamente un numero reale o complesso) e/o una o più variabili (“parte letterale”), solitamente indicate con lettere dell'alfabeto latino, che rappresentano un elemento generico, legati solamente dalle operazioni di moltiplicazione e/o divisione (in realtà dire “divisione” è superfluo in quanto ogni divisione è equivalente ad una “moltiplicazione” per il reciproco del divisore). Esempi di monomi:
.
La somma algebrica di due o più monomi forma un polinomio
Per approfondire questo argomento, consulta la pagina Monomio.
Due polinomi si dicono ortogonali in un dato intervallo e rispetto ad una data funzione “peso”, se l'integrale su quell'intervallo del prodotto dei polinomi e della funzione peso è uguale a zero; l'operazione di integrazione detta sopra è praticamente un prodotto interno in uno spazio vettoriale.
Una famiglia, anche di infiniti elementi,si dice una famiglia di polinomi ortogonali se l'eguaglianza descritta sopra vale per ogni coppia di polinomi.
Polinomi fra loro ortogonali si dicono ortonormali nello stesso intervallo e rispetto alla stessa funzione “peso” di ortogonalità, se l'integrale su quell'intervallo del prodotto di ogni polinomio moltiplicato per e stesso e per la funzione peso è uguale a 1
Il prodotto di due polinomi dà come risultato un altro polinomio. Il prodotto si realizza moltiplicando ogni termine del primo polinomio con tutti i termini del secondo e sommando tutti i valori trovati. Se i polinomi sono a valori reali o complessi, il prodotto fra polinomi è commutativo
Per approfondire questo argomento, consulta la pagina Polinomio.
Le radici di un polinomio sono quei valori delle variabili che annullano il polinomio. Se il polinomio ha una sola variabile, le sue radici sono i valori tali che . Un polinomio di gradon ha al più n radici, anzi ne ha esattamente n in campo complesso e tenendo conto delle radici multiple
La regola di Cartesio sui segni (positività/negatività) delle radici di un polinomio di gradon si applica solo se tutte le radici del polinomio sono reali. Essa afferma che il numero di radici reali positive (tenendo conto anche delle radici multiple) è dato dal numero di cambi di segno fra due coefficienti consecutivi.
La regola di Ruffini è un algoritmo per effettuare la divisione di un polinomio in una variabile per un binomio di primo grado nella stessa variabile. L'algoritmo permette di trovare sia il polinomio quoziente che il polinomio resto. È un algoritmo semplificato rispetto a quello generale per la divisione di polinomi. Si sostiene che sia pubblicato da Ruffini nel 1809.
Per approfondire questo argomento, consulta la pagina Regola di Ruffini.
Un polinomio è riducibile se è possibile trovare due polinomi (di grado inferiore) che moltiplicati fra loro diano il polinomio dato. La riducibilità o meno di un polinomio dipende fortemente dal campo a cui appartengono i coefficienti: per esempio il polinomio è riducibile in campo complesso (), ma irriducibile in campo reale
Una sequenza di Appell è una sequenza polinomiale per i cui componenti pn(x) vale l'uguaglianza d/dx pn(x) = n pn-1(x)p~. Il loro insieme è contenuto propriamente nell'insieme delle sequenze di Sheffer ed è distinto dall'insieme delle sequenze di tipo binomiale
Una sequenza di Sturm su un intervallo finito o infinito (a,b) è una sequenza finita di polinomip1(x), p2(x), ..., pn(x) in cui l'ultimo polinomio pn(x) non si annulla mai nell'intervallo (a,b), e per ogni radice di uno qualunque degli altri polinomi si ha
pk-1(x0) pk+1(x0) < 0
Per approfondire questo argomento, consulta la pagina Sequenza di Sturm.
Sommare due polinomi significa formare un terzo polinomio sommando algebricamente tutti i monomi dei due polinomi addendi eseguendo nel contempo la somma dei monomi simili
Per approfondire questo argomento, consulta la pagina Polinomio.
Il teorema binomiale (chiamato anche formula o binomio di Newton) esprime lo sviluppo della potenzan-ma di un binomio. Considerato il binomio , allora il teorema binomiale afferma che dove rappresenta il coefficiente binomiale, che vale (n! è il fattoriale di n):
Il teorema del resto afferma che il resto della divisione di un polinomio P(x) per il binomio(x-a) (il resto è quindi una costante) corrisponde al valore che il polinomio assume in a, quindi a P(a)
Per approfondire questo argomento, consulta la pagina Teorema del resto.
Il teorema delle radici razionali afferma che le eventuali radici razionali di un polinomio a coefficientiinteri in una variabile, hanno come numeratore un divisore del termine noto e come denominatore un divisore del coefficiente direttore (coefficiente del monomio di grado massimo)
Questo teorema afferma che non è possibile trovare una formula generale che permetta di esprimere, tramite radicali, le soluzioni di equazioni algebriche complete di grado superiore al quarto
Il teorema di Ruffini è un corollario del teorema del resto e afferma che un polinomio P(x) è divisibile per il binomio(x-a) se e solo P(a)=0. In questo modo è possibile sapere se un polinomio è divisibile per un binomio senza eseguire la divisione
Per approfondire questo argomento, consulta la pagina Teorema di Ruffini.
Il teorema fondamentale dell'algebra afferma che ogni polinomio a coefficienticomplessi ha sempre almeno una radice complessa. Dal teorema segue che il polinomio ammette precisamente n radici, contate con la loro molteplicità.
Un polinomio trigonometrico è una combinazione lineare delle funzioni trigonometricheseno e coseno. In pratica quindi è un polinomio in cui le variabili sono mediate da una funzione trigonometrica (per es. )
