Utente:Darkxifrit/Pagina di prova2

Equazioni differenzialiModifica

SuccessioniModifica

Notazioni
Alcuni autori indicano con   l'insieme dei numeri naturali escluso lo zero, cioè  . In questa e nelle lezioni che seguono con   indicheremo l'insieme  

Una funzione  , dove   è un insieme non banale, si dice successione in   e si usa denotarla con

 

o equivalentemente

 .

Osserviamo che il dominio delle successioni non è necessariamente  , è sufficiente prendere un suo sottoinsieme numerabile.

Una successione reale  

  • si dice positiva se per ogni   si ha che  
  • si dice non negativa se per ogni   si ha che  
  • si dice negativa se per ogni   si ha che  .
  • si dice non positiva se per ogni   si ha che  

E' bene mettere in evidenza il fatto che esistono successioni che hanno segno variabile, alcuni termini della successione sono positivi mentre altri sono negativi. Ricoprono un ruolo importante le successioni a segno alterno:

  • Una successione   si dice a segni alterni se per ogni   si ha che  .

EsempiModifica

  è una successione ed è del tipo  . La successione è positiva

  è una successione ed è del tipo  . Questa successione, a differenza della precedente, è negativa.

  è una successione ed è del tipo  . Questa successione è a segno variabile, in particolare è a segni alterni.


  è una successione ed è del tipo  . Questa successione è a segno variabile.

Successioni monotòneModifica

Una successione reale   si dice

  • monotona crescente se per ogni  
  • monotona descrescente se per ogni  
  • monotona strettamente crescente se per ogni  
  • monotona strettamente descrescente se per ogni  

Attenzione, esistono successioni che non rispettano le condizioni precedenti, hanno cioè un andamento variabile. Per fissare le idee su queste definizioni facciamo alcuni esempi.

EsempiModifica

  •   è una successione strettamente crescente, infatti, da   segue immediatamente che   cioè   per ogni   naturale.
  •   è una successione strettamente crescente. Per verificarlo, ci chiediamo per quali numeri naturali   viene verificata la disuguaglianza  .
  ma questa è sempre verificata in  .
Un altro modo per giungere alla stessa conclusione è il seguente:
Il termine n-esimo della successione   può essere riscritto come  . Osserviamo ora che  
cioè   per ogni   naturale
  •   è una successione strettamente decrescente, infatti, da   segue immediatamente che   pertanto   per ogni   naturale pertanto  .

Successioni limitateModifica

Una successione reale   è

  • limitata superiormente se esiste una costante reale   tale che per ogni   si ha che  
  • limitata inferiormente se esiste una costante reale   tale che per ogni   si ha che  
  • limitata se è limitata superiormente e inferiormente, cioè:
1) se esistono due costanti reali   tali che   per ogni  
o equivalentemente
2) se esiste una costante reale   tale che per ogni   si ha che  .

Mostriamo la completa equivalenza della definzioni 1) e 2).

1) implica 2)

Se per ogni   naturale si ha che  , con  , ponendo   si ha che per ogni   naturale   che è la definzione 2).

2) implica 1)

Se per ogni   naturale   con   allora  . Se si pone   e   allora per ogni   si ha che   che è la definizione 1).


Vedremo ora alcuni esempi di successioni limitate:

EsempiModifica

1. La successione   è limitata infatti  , le costanti in questo caso sono  

2. La successione   è limitata inferiormente ma non superiormente infatti  , la costante che limita inferiormente la successione è  .

3. La successione   è limitata superiormente ma non inferiormente infatti  , la costante che limita superiormente la successione è  

Successioni illimitateModifica

Una successione reale   si dice

  • illimitata superiormente se per ogni numero reale   esiste  , dipendente da   tale che   per ogni  
  • illimitata inferiormente se per ogni numero reale   esiste  , dipendente da   tale che   per ogni  .
  • illimitata se per ogni numero reale   esiste  , dipendente da   tale che   per ogni  .

EsempiModifica

1. La successione   è illimitata superiormente infatti fissato   esiste un naturale   tale che  . Basta prendere  , dove   indica la funzione parte intera.

SottosuccessioneModifica

Sia   una successione reale, sia inoltre   una successione strettamente crescente di numeri naturali, cioè   per ogni  , diremo che   è una sottosuccessione della successione  . In modo informale, possiamo asserire che una sottosuccessione di una successione data è una nuova successione che è formata dalla successione originale a cui sono stati tolti alcuni elementi, senza modificare la posizione relativa degli elementi rimanenti. Va da sè che, data una successione, le sottosuccessioni estraibili da essa sono infinite.

EsempiModifica

1. La successione   è una sottosuccessione di  , in questo caso infatti la successione di indici  

2. La successione costante   è una sottosuccessione di  , la successione di indici è  

3. La successione costante   è un'altra sottosuccessione di  , la successione di indici è  

Test della lezioneModifica

Ora tocca a te, rispondi alle seguenti domande nel minor tempo possibile (max 20 minuti), ovviamente in modo corretto. Ti consentirà di capire quante informazioni hai recepito dopo la lettura della lezione. Attenzione, le domande 4, 5, 6, hanno più di una risposta esatta.

Test della lezione

1 Sia  , essa è

limitata inferiormente, ma non superiormente.
negativa.
limitata superiormente, ma non inferiormente.
nessuna delle precedenti.

2 Sia  , essa è

positiva
limitata inferiormente, ma non superiormente
negativa e limitata superiormente
nessuna delle precedenti

3 Sia  , essa è

costante
negativa e limitata
positiva e limitata superiormente
nessuna delle precedenti

4 La successione  

è negativa
è limitata inferiormente
è non negativa
è positiva

5   è una successione

limitata
a segni alterni
positiva
negativa

6   è una successione

illimitata
a segni alterni
positiva
negativa


Nota Se il punteggio ottenuto è

  • tra 0-2: insufficiente, consiglio vivamente di rileggere la lezione :)
  • tra 3-5: non male, ma si può fare di più. Un lettura veloce, poi corri alla seconda lezione ;)
  • 6: ottimo, hai colto le informazioni necessarie al proseguimento delle lezione, continua così :D

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