Triangoli rettangoli e assimilabili - soluzioni secondo la trigonometria di base

Per la soluzione dei triangoli rettangoli di cui al titolo è stato sviluppato un file eseguibile con il quale, in base ad una prescelta coppia di elementi del triangolo rettangolo, si computano rapidamente tutti gli altri elementi con una precisione di $1''$ ( un secondo in gradi sessagesimali ).

Lo strumento di calcolo secondo la trigonometria di base

Il pannello operativo del calcolatore è mostrato in figura 1:

figura 1

L'impiego del calcolatore è semplice; facendo riferimento alla figura 1 vediamo che in questo caso con il "SELETTORE", in alto a sinistra è stata scelta la coppia di dati d'ingresso: $b\ ;\ c\$ (i due cateti) su le seguenti quattro opzioni :

$a\ ;\ \beta$; l'ipotenusa e l'angolo adiacente

$b\ ;\ \beta$  ; un cateto e l'angolo opposto

$a\ ;\ b$ ; l'ipotenusa e un cateto

$b\ ;\ c$ due cateti

Se i valori di $b\ e\ c$ inseriti sono rispettivamente: $b=13.67\ ;\ c=28.03$ il risultato della completa risoluzione del triangolo è mostrato nella parte destra del pannello; come si vede il calcolo degli angoli $\beta \ e\ \gamma$ è con la definizione di $1''$ ; è mostrato con l'indicazione $Sup.$ il valore sella superficie.

Quando uno dei due dati d'ingresso è un angolo

Nel caso che con il selettore si sia selezionata la coppia $a\ ;\beta$ dovendo inserire un valore angolare espresso in gradi sessagesimali il pannello si presenta automaticamente con una nuova finestra, in basso a sinistra, nella quale digitare l'angolo $\beta$ in: gradi; primi; secondi; cosi come mostra figura 2 per il valori di :

$\beta =53$° ; $07'$ ; $48''$ se si digita per $a$ (ipotenusa) il valore $5$ si ha la schermata seguente:

figura 2

La fase d'inserzione dell'angolo deve avvenire nella sequenza:

• si digita il numero dei gradi $53$
• si digita un punto di separazione .
• si digita il numero dei primi $07$
• si digita un punto di separazione .
• si digita il numero dei secondi $48$

in modo che la scritta nella finestra appaia come sotto:

$53.07.48$

Esercitazioni

La tabella di riscontro

Per sviluppare esercitazioni sul calcolatore cliccare su [file exe in zip] , quindi, in base alla tabella sotto riportata, scegliendo a piacere coppie di dati, si possono fare numerosi esercizi per avere riscontri sull'impiego del calcolatore

tabella

Esercizio

Il calcolatore può essere utile anche per la risoluzione di triangoli isosceli od equilateri dato che tracciando l'altezza rispetto alla base questa divide il triangolo in due triangoli rettangoli; per un triangolo isoscele, ad esempio, mostrato figura in 3 si può scrivere;

figura 3

dati triangolo isoscele: base: $a=13.78$ angoli alla base $\beta =72^{\circ }\ 15'\ 25''$ dati del triangolo rettangolo generato di figura 3 in figura 4.

figura 4

tracciata l'altezza $h$ questa divide in due la base: $a/2=6.89$ ; questo è il cateto $b\ '\ =6.89$ del triangolo rettangolo; l'angolo opposto al cateto $b\ '$ che chiamiamo $\beta \ '$ è la differenza tra $90$° e $\beta =72^{\circ }\ 15'\ 25''$ quindi $\beta \ '\ =17^{\circ }\ 44'\ 35''$ disponendo di $b\ '$ e $\beta \ '$ si seleziona nel calcolatore la coppia $b\ ;\ \beta$ e si ottiene il risultato:

$a'=22.61$

$h=c'=21.5333$

$S'=74.19$

i dati risolutivi per il triangolo isoscele son quindi:

$b=a\ '=13.78$

$h=c\ '=21.5333$

$S=2\ S\ '=148.38$

Le formule applicate

Le formule applicate sono mostrate in figura 5:

figura 5

Bibliografia

• T. Vardanega, Trigonometria piana, Soc. ed. Intern, Torino, 1946

• C. Del Turco, La matematica con il personal computer –metodi matematici e grafici in Qbasic, Editrice MODERNA La Spezia, 1998.