Triangoli qualunque -unica soluzione condizionata secondo il teorema dei seni:
Un triangolo qualunque e i suoi elementi
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In figura 1 è tracciato un triangolo qualunque con tutti i suoi elementi, distinti da lettere ed angoli, ai quali faremo riferimento nel prosieguo del lavoro:
Premesse
modificaPer la soluzione dei triangoli qualunque, in particolare avendo come elementi noti due lati: ed un angolo adiacente: è necessario che siano verificate alcune condizioni:
che sia:
- 1)
(se questa condizione non è verificata gli elementi dati non consentono la soluzione del triangolo.)
- 2) lato lato
questa condizione, assieme alla 1) verificata, consente un'unica soluzione del triangolo.
- 3) lato lato ; e °
questa condizione, assieme alla 1) verificata, consente due soluzioni del triangolo.
Nel triangolo di figura 1 si vede che il lato lato quindi, verificata la 1), la soluzione unica è possibile è illustrata di seguito.
Lo strumento di calcolo secondo il teorema dei seni condizionato
modificaIl calcolatore è stato sviluppato come file eseguibile con il quale, in base alla prescelta terna di elementi, si computano rapidamente tutti gli altri con una precisione di ; naturalmente il calcolo è subordinato alle condizioni 1) e 2) del paragrafo precedente.
Il pannello operativo del calcolatore è mostrato in figura 2:
Il calcolo, come detto, è subordinato alla condizione:
che sia: , condizione che se non verificata non consente al software di operare e quindi di dare risultati dando la sensazione che il calcolatore non funzioni; per eliminare ogni dubbio, dopo l'inserzione dei dati; i due lati e l'angolo, si preme il pulsante di verifica: se si colora in verde la condizione è verificata, altrimenti assume il colore rosso che indica l'impossibilitò di procedere ai calcoli.
Facendo riferimento alla figura 2 vediamo il caso in cui la terna di elementi noti sia:
ne segue che la condizione: è verificata .
Gli elementi del triangolo, calcolati secondo il teorema dei seni e la condizione citata, sono mostrati a destra dopo la pressione del pulsante "Calcolo"
Osservazioni
modificaLa soluzione del triangolo, essendo è unica; esiste quindi un solo triangolo con i tre elementi dati.
Si tenga presente che il programma del calcolatore opera soltanto se la condizione è verificata.
In una prossima pagina prenderemo in esame il caso in cui sia ; condizione che da luogo a due diverse soluzioni del triangolo.
Esercitazioni
modificaPer sviluppare esercitazioni sul calcolatore cliccare sull'eseguibile [file exe in zip ] quindi, in base alla tabella contenuta nel file zip, scegliendo a piacere terne di lati, si possono fare alcuni esercizi per avere riscontri sull'impiego del calcolatore
Bibliografia
modifica- T. Vardanega, Trigonometria piana, Soc. ed. Intern, Torino, 1946
- C. Del Turco, La matematica con il personal computer –metodi matematici e grafici in Qbasic’’, Editrice MODERNA La Spezia, 1998.