Trasformazione delle funzioni di correlazione secondo Hilbert

L’utilità di questa trasformata è fondamentale quando sia richiesto di conoscere come e quando due grandezze del tempo $f1(t)\ e\ f2(t),$ che normalmente risultano completamente correlate, iniziano a cambiare il loro stato di interdipendenza a causa di fenomeni fisici da indagare.

La capacità di evidenziare questi cambiamenti è comune anche alla correlazione ordinaria, ma il fenomeno e molto più evidenziato e quantizzabile secondo la trasformata di Hilbert.

Generalmente la misura del ritardo $\tau$ nei correlatori digitali viene stabilita valutando quando la funzione di correlazione raggiunge il massimo d'ampiezza.

Si tratta quindi di operare su di una funzione il cui massimo può essere incerto, ciò non agevola la precisione di misura del ritardo $\tau$

La $C(\tau )x$ è sovente impiegata per stabilire con precisione a quale valore di $\tau$ corrisponde il suo valore massimo.

La precisione del rilievo del riardo $\tau$ può essere migliorata tramite la trasformata di Hilbert.

La trasformata modifica la funzione di correlazione dal suo massimo ad un passaggio per lo zero.

La trasformata di Hilbert attraversa il livello zero passando da valori positivi a valori negativi, è pertanto più agevole il rilievo del ritardo $\tau$ nel punto di passaggio di tali valori.

Le funzioni di correlazione e la trasformata di Hilbert

La trasformata di Hilbert, indicata come $HC(\tau )$, di una funzione di correlazione $C(\tau )$ si ottiene dall'integrale:

$HC(\tau )={\frac {1}{\pi }}\ \cdot \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {C(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau$

Data una $C(\tau )x$ d'esempio:

$C(\tau )x={\frac {2}{\pi }}\arcsin \cdot K\cdot {\left[{\frac {\sin(2\pi DF\tau )}{2\pi DF\tau }}\cos(2\pi F_{o}\tau )\right]}$

definita con le variabili:

$f_{1}=1000\ Hz$ frequenza inferiore della banda di ricezione

$f_{2}=5000\ Hz$ frequenza superiore della banda di ricezione

$DF={\frac {f_{2}-f_{1}}{2}}$

$F_{o}={\frac {f_{1}+f_{2}}{2}}$

$K={\frac {1}{1+(N/S)^{2}}}$

ha l'andamento mostrato in figura 1 :

figura 1 Funzione di correlazione

La trasformata di $C(\tau )x$ indicata con $HC(\tau )x$, in base all'integrale dato, assume la forma:

$HC(\tau )x={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left[K{\frac {\sin(2\pi DF\tau )}{2\pi DF\tau }}\sin(2\pi F_{o}\tau )\right]$

La $HC(\tau )x$ si diversifica dalla $C(\tau )x$ per avere la funzione in coseno trasformata in funzione seno.

L'andamento della $HC(\tau )x$ è mostrato in figura 2:

figura 2 Trasformata di Hilbert

La soluzione hardware per la trasformazione di C(tao)x in HC (tao)x

Un sistema in correlazione che sviluppa la $C(\tau )x$ è mostrato in figura 3 :

figura 3 Schema a blocchi di un correlatore per il computo della $C(\tau )x$

La modifica del correlatore per la trasformazione di Hilbert prevede uno sfasamento di $90$ ° per tutte le frequenze della banda dei segnali del correlatore come in figura 4:

figura 4 Schema a blocchi di un correlatore per il computo della $HC(\tau )x$

L'unità di sfasamento per 90°

Per ottenere uno sfasamento di $90$° tra i due canali d'ingresso del correlatore digitale che sia indipendente della frequenza è necessario trattare le tensioni dei due canali, definite nella banda compresa tra $F1\ e\ F2$ , mediante apposite reti passive studiate alto scopo.

Molta letteratura tecnica e stata scritta per la soluzione di questo problema che interessa particolarmente i sistemi di modulazione per trasmissione a banda laterale unica.

Per queste applicazioni i problemi che devono essere risolti dallo sfasatore a larga banda sono duplici:

• sfasare di $90$° due segnali in tutta la banda di lavoro

• non alterare l'ampiezza dei segnali stessi

Nel nostro caso, dove il processo di correlazione prevede l'impiego della limitazione d'ampiezza dei segnali d'ingresso, è sufficiente sfasare i segnali dei due canali di $90$° senza preoccuparsi eccessivamente di non alterare l'ampiezza delle loro tensioni.

Con due cellule da $\pm 45$°: $RC\ e\ CR$, come in figura 5, si risolve il problema:

figura 5

Bibliografia

• Cesare Del Turco, La correlazione , Collana scientifica ed. Moderna La Spezia,1993