Teorema di Fermat, di Rolle, di Lagrange, di Cauchy

lezione
Teorema di Fermat, di Rolle, di Lagrange, di Cauchy
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica
Avanzamento Avanzamento: lezione completa al 75%.

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Introduciamo qui alcuni teoremi di notevole importanza del punto di vista del calcolo differenziale.

Teorema di FermatModifica

Sia   e   un punto interno di  . Sia inoltre   derivabile in  .

Allora se   è un estremo relativo di   si ha

 .

DimostrazioneModifica

Supponiamo   punto di massimo di f (è naturalmente possibile ragionare in maniera analoga considerandolo un punto di minimo). Allora se   è massimo relativo di f si avrà che,

  in un intorno del tipo   con  . Dunque:
  •  

e

  •   quindi
 
 .

Ma sappiamo   derivabile in   per ipotesi, dunque possiamo dedurre che

 .
 


Una conseguenza del teorema di Fermat è il seguente teorema di Rolle.

Teorema di RolleModifica

Siano   ed   una funzione continua in   derivabile in ogni punto di  . Supponiamo

 . Allora:
  tale che  .

DimostrazioneModifica

In virtù del Teorema di Weierstrass la funzione sull'intervallo   ammette massimo e minimo assoluti (che indichiamo rispettivamente con   e  ).

Si danno due casi: o il massimo e il minimo sono entrambi raggiunti negli estremi (dunque   sono estremanti ) oppure almeno uno dei due appartiene all'intervallo  .

Caso 1) Il massimo e il minimo si trovano entrambi negli estremi e quindi poiché   ne segue dalla continuità di   che  

Questo implica che la funzione è costante sull'intervallo   e quindi la derivata è nulla in ciascun punto   dell'intervallo  .

Caso 2) Il massimo o il minimo si trovano all'interno dell'intervallo. Per fissare le idee, consideriamo il caso in cui il massimo è raggiunto in un punto   dell'intervallo aperto  , cioè  .

Dunque per il Teorema di Fermat la derivata è nulla nel punto  .

 


Teorema di Lagrange (o del valor medio)Modifica

 
Teorema di Lagrange

Supponiamo una funzione   definita nell'intervallo  come nell'immagine a fianco, continua nell'intervallo e ogni suo punto ha una tangente, e tracciamo la retta secante il grafico che passa per i punti   e  , gli estremi di   nell'intervallo considerato (in arancione): essa intersecherà   almeno in due punti, inizialmente:   e  .

Ora se spostiamo idealmente questa retta verso il basso, sempre mantenendola parallela con la stessa pendenza, notiamo che essa andrà a coincidere con la retta in verde, tangente alla curva nel punto  : il teorema di Lagrange afferma che sotto le ipotesi di regolarità enunciate è sempre possibile trovare un punto  , come nell'esempio, tale che la tangente in quel punto ha la stessa pendenza del segmento congiungente i punti estremi del grafico.

Sia   continua in   e derivabile in  . Allora:

 


DimostrazioneModifica

Ai fini della dimostrazione dobbiamo cercare una funzione a cui si possa applicare il teorema di Rolle. In particolare dobbiamo fare in modo che essa rispetti la terza ipotesi, non garantita dalla ipotesi del teorema di Lagrange.

Sia   la seguente funzione:

 

Si tratta della retta passante per i punti     della figura.

Sia ora   la differenza tra le due funzioni    

 

 

 

Quindi h(x) si annulla nei punti a e b (vi assume quindi valori identici):

 

Per il teorema di Rolle, se una funzione è continua in un intervallo [a, b], derivabile in (a, b) ed assume valori uguali agli estremi dell'intervallo, esiste almeno un punto c la cui derivata sia 0.

La funzione h(x) è continua perché somma di funzione continue (una per ipotesi ed una perché è un polinomio di primo grado); inoltre è derivabile perché somma di funzioni derivabili (la prima per ipotesi, la seconda in quanto polinomio di primo grado). La terza ipotesi di Rolle la abbiamo dimostrata poco prima.

Applichiamo quindi il teorema alla funzione h(x), dal momento che ne soddisfa tutte le condizioni:

 

 

g(x) è una retta, la derivata prima di una retta è, in ogni suo punto, uguale al suo coefficiente angolare:

 

 

ed il teorema è così dimostrato.

 


Teorema di CauchyModifica

Siano   con   e siano   derivabili in ogni punto di  . Supponiamo   per ogni  . Allora esiste un punto   tale che

 
DimostrazioneModifica

Si consideri la funzione   definita su   Verifica tutte le ipotesi del Teorema di Rolle, infatti è continua in   e derivabile in  .

Inoltre si ha che   e   Quindi esiste un punto   in   tale che  , cioè  

Come volevasi dimostrare.