Teorema del confronto, di Cauchy

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lezione
Teorema del confronto, di Cauchy
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica
Avanzamento Avanzamento: lezione completa al 100%.

Alcuni importanti teoremiModifica

Teorema (del confronto per funzioni)Modifica

Sia  ,  ,  .
Se esiste un intervallo   per cui   per ogni   e se i limiti delle due funzioni estremi   e   sono uguali, allora si ha che

 


In altre parole, è come se le due funzioni   e   "intrappolassero"  .

DimostrazioneModifica

Poniamo  .
Se  , abbiamo già visto prima cosa succede.
Se invece  , utilizziamo il Lemma visto all'inizio per la dimostrazione. Sia allora   una successione in   convergente a  . Allora

  e
 .

Poiché la successione converge a  ,   (lo abbiamo visto prima, nella dimostrazione della prima implicazione del Lemma iniziale).
Allora, per come è definito il teorema, si ha

 

Per il Teorema dei due carabinieri (riferito alle successioni) si ha che   per   e per il Lemma iniziale e poiché   è una arbitraria successione in   convergente ad   abbiamo

 
 


Teorema (di Cauchy)Modifica

Sia  ,   un punto di accumulazione di   reale o   ed  . Allora

  

In parole povere, esiste il limite di una funzione se e solo se i suoi termini sono vicini quanto si voglia.

DimostrazioneModifica

  . Supponiamo per ipotesi che esista il limite di   e che sia   questo limite. Allora, utilizzando la definizione di limite e "truccandola" un po', abbiamo:

 .

Ora, per ogni   si ha

 

che è proprio la seconda affermazione.

  . Utilizziamo sempre il Lemma che abbiamo visto all'inizio e consideriamo dunque una successione in   convergente a   che chiamiamo, con grande fantasia,  .
Per ipotesi si ha che

 

 Nota:
finire la dimostrazione... pag 115

 



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