Teorema del confronto, di Cauchy

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Alcuni importanti teoremi

Teorema (del confronto per funzioni)

Sia $A\subseteq \mathbb {R}$, $f,g,h:A\to \mathbb {R}$, $x_{0}\in D(A),\ x_{0}\in {\overline {\mathbb {R} }}$.
Se esiste un intervallo $H\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}$ per cui $f(x)\leq h(x)\leq g(x)$ per ogni $x\in \left(A\setminus \{x_{0}\}\right)\cap H$ e se i limiti delle due funzioni estremi $f(x)$ e $g(x)$ sono uguali, allora si ha che

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}}h(x)=\lim _{x\to x_{0}}g(x)$

In altre parole, è come se le due funzioni $f$ e $g$ "intrappolassero" $h$.

Dimostrazione

Poniamo $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}}g(x)=\lambda$.
Se $\lambda =\pm \infty$, abbiamo già visto prima cosa succede.
Se invece $\lambda \in \mathbb {R}$, utilizziamo il Lemma visto all'inizio per la dimostrazione. Sia allora $(x_{n})$ una successione in $A\setminus \{x_{0}\}$ convergente a $x_{0}$. Allora

$\lim _{n\to +\infty }f(x_{n})=\lambda$ e

$\lim _{n\to +\infty }g(x_{n})=\lambda$.

Poiché la successione converge a $x_{0}$, $x_{n}\in \left(A\setminus \{x_{0}\}\right)\cap H,\forall n>m\in \mathbb {N}$ (lo abbiamo visto prima, nella dimostrazione della prima implicazione del Lemma iniziale).
Allora, per come è definito il teorema, si ha

$f(x_{n})\leq h(x_{n})\leq g(x_{n}),\ \forall n>m$

Per il Teorema dei due carabinieri (riferito alle successioni) si ha che $h(x_{n})\to \lambda$ per $n\to +\infty$ e per il Lemma iniziale e poiché $(x_{n})$ è una arbitraria successione in $A\setminus \{x_{0}\}$ convergente ad $x_{0}$ abbiamo

$\lim _{x\to x_{0}}h(x)=\lambda$

$\Box$

Teorema (di Cauchy)

Sia $A\subseteq \mathbb {R}$, $x_{0}$ un punto di accumulazione di $A$ reale o $\pm \infty$ ed $f:A\to \mathbb {R}$. Allora

$\exists \lambda \in \mathbb {R} \ :\ \lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lambda \Longleftrightarrow$$\forall \varepsilon >0\exists H\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}\ :\ \left|f(x)-f(y)\right|<\varepsilon ,\forall x,y\in \left(A\setminus \{x_{0}\}\right)\cap H$

In parole povere, esiste il limite di una funzione se e solo se i suoi termini sono vicini quanto si voglia.

Dimostrazione

$\Rightarrow )$ . Supponiamo per ipotesi che esista il limite di $f(x)$ e che sia $\lambda$ questo limite. Allora, utilizzando la definizione di limite e "truccandola" un po', abbiamo:

$\forall \varepsilon >0\ \exists H\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}\ :\ \left|f(x)-\lambda \right|<{\frac {\varepsilon }{2}},\ \forall x\in \left(A\setminus \{x_{0}\}\right)\cap H$.

Ora, per ogni $x,y\in \left(A\setminus \{x_{0}\}\right)\cap H$ si ha

$\left|f(x)-f(y)\right|\leq \left|f(x)-\lambda \right|+\left|\lambda -f(y)\right|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon$

che è proprio la seconda affermazione.

$\Leftarrow )$ . Utilizziamo sempre il Lemma che abbiamo visto all'inizio e consideriamo dunque una successione in $A\setminus \{x_{0}\}$ convergente a $x_{0}$ che chiamiamo, con grande fantasia, $(x_{n})$.
Per ipotesi si ha che

$\forall \varepsilon >0\exists H\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}\ :\ \left|f(x)-f(y)\right|<\varepsilon ,\forall x,y\in \left(A\setminus \{x_{0}\}\right)\cap H$

Nota:
finire la dimostrazione... pag 115

$\Box$

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