Sviluppo in serie di Fourier

Partendo dalla conoscenza che in ambito elettronico risulta facile (= più facile) elaborare segnali di tipo sinusoidale, l'analisi di Fourier risulta uno strumento matematico indispensabile nella teoria dei segnali.

In generale, è possibile dimostrare, sotto alcune condizioni, che un segnale generico può essere scomposto in una somma (generalmente infinita) di segnali di tipo sinusoidale.

La scomposizione in segnali sinusoidali è detta fase di analisi, mentre l'opposto, la ricostruzione del segnale originario, è detta fase di sintesi.

Sviluppo in serie di Fourier per le funzioni periodiche continue nel tempo

Nonostante l'analisi di Fourier sia applicabile ad una moltitudine di campi diversi, nello studio della teoria dei segnali ci concentreremo nell'utilizzo dell'analisi di Fourier per funzioni, generalmente complesse, che sono funzioni del tempo.

In generale analizzeremo una $x(t)\in \mathbb {C}$, con $t$ tempo.

Lo sviluppo in serie di Fourier si applica a segnali (condizioni necessarie):

• continui nel tempo e
• continui o discreti nei valori e
• periodici

Sia quindi

• $x(t)=x(t+T)\in \mathbb {C}$ (funzione periodica di periodo T con valore nei numeri complessi)
• $\omega _{0}={\frac {2\pi }{T}}$ (pulsazione fondamentale)

possiamo procedere (sotto alcune condizioni che vedremo dopo) a scomporre il segnale in una somma di fasori (formula di sintesi):

$$x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{j\omega _{0}nt}$$

Con $c_{n}$ detto "numero complesso rappresentativo" del fasore. La formula di analisi, ovvero quella per trovare i coefficienti a partire dal segnale risulta invece

$$c_{n}={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}x(t)\ e^{j\omega _{0}nt}\ dt$$

Osservazioni:

• Non è necessario che l'integrale venga svolto proprio sull'intervallo indicato, l'importante è che sia un intervallo grande $T$;
• E' possibile definire le due formule anche nel dominio delle frequenze (invece che in quello delle pulsazioni). Per farlo basta ricordare il rapporto $\omega _{0}={\frac {2\pi }{T}}=2\pi f$.