Successioni di Cauchy e limiti superiori-inferiori

Analisi matematica > Successioni di Cauchy e limiti superiori-inferiori

appunti
appunti
Successioni di Cauchy e limiti superiori-inferiori
Tipo di risorsa Tipo: appunti
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica
Avanzamento Avanzamento: appunti completi al 50%


Successioni di Cauchy

modifica

Sia   una successione reale.   si dice che è una successione di Cauchy se

 

In altri termini, una successione si dice di Cauchy se i suoi termini sono vicini tra loro quanto tanto si vuole, purché gli indici siano abbastanza grandi.

Proposizione

modifica

Una successione è convergente se e solo se è una successione di Cauchy.

Dimostrazione
modifica

Sia   convergente a  . Dunque, per la definizione di limite di una successione, si ha (anche per ripetere la definizione di limite fino a che non ce la ricordiamo più del nostro nome... :D )

  (*)

Ora un trucchetto: se è vera la (*), allora varrà anche se al posto di   prendo  , tanto   è un numero del tutto arbitrario. Allora consideriamo ora

  (**)

Dunque

 

ed infine

 

e questo prova la proposizione.

 


Teorema (completezza sequenziale di  )

modifica

Se   è una successione reale di Cauchy, allora è convergente.

Dimostrazione
modifica

Dobbiamo provare che esiste  . Consideriamo una successione di Cauchy  . Abbiamo che  .

Fissiamo ora un numero   e otteniamo  . Allora

 

e dunque, per ogni   si ha che

 

dunque   è limitata e per il Teorema di Bolzano-Weierstrass, esiste una sottosuccessione di     convergente a  . Dunque  . Poniamo poi   e se   (e dunque   perché  ) abbiamo

 

Dunque   converge a  .

 


Limite superiore e limite inferiore

modifica

Teorema (esistenza del limite di una successione)

modifica
Dimostrazione
modifica