Studio di funzioni reali a valori reali

Sia $f$ una funzione reale a valori reali. Lo studio di $f$ consiste nello studiare il suo andamento al variare della variabile indipendente nel suo dominio. Per realizzare tale studio si segue il seguente schema:

• Dominio: determinare $D$, ossia l'insieme di definizione della funzione $f$;

• Simmetria: verificare se $f$ è eventualmente:
  • pari: $f(-x)=f(x),\forall x\in D$;

• • dispari: $f(-x)=-f(x),\forall x\in D$;

oppure periodica di periodo $T\in \mathbb {R}$: $f(x+T)=f(x),\forall x\in D$;

• Intersezione con gli assi e segno della funzione: se i calcoli lo permettono, individuare i punti d'intersezione di $y=f(x)$ e $y=0$, ossia trovare degli $x\in D$ tali che $f(x)=0$, e, nel caso in cui $f$ vi sia definita, di $y=f(x)$ e $x=0$, ossia calcolarsi il punto $f(0)$ e poi, se possibile, vedere per quali $x$ nel dominio vale $f(x)>0$ e per quali $x$ nel dominio vale $f(x)<0$.

• Limiti: calcolarsi i limiti agli estremi del dominio e verificare se vi sono punti di discontinuità:
  • eliminabile: $\exists x_{0}\in D:\exists \lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)\neq f(x_{0})$;

• • di prima specie: $\exists x_{0}\in D:\exists \lim _{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=l\in \mathbb {R} ,\exists \lim _{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=l'\in \mathbb {R} ,l\neq l'$;

• • e di seconda specie: $\exists x_{0}\in D$: il limite destro oppure il limite sinistro per $x$ che tende a $x_{0}$ non esiste oppure è infinito;

Inoltre controllare se vi sono:

• • asintoti orizzontali, nel caso in cui il suo dominio sia illimitato a destra o a sinistra: $\exists \lim _{x\rightarrow \pm \infty }f(x)=l^{\pm }\in \mathbb {R}$. Se risulta vera ad esempio per $x$ che tende a $+\infty$, e tale limite sia $l$, allora $y=l$ è asintoto orizzontale per $x$ che tende a $+\infty$.

• • asintoti verticali: $\exists x_{0}\in D$: $x_{0}$ è di discontinuità di seconda specie, tale che almeno uno dei due limiti è infinito, allora $x=x_{0}$ è asintoto verticale per $x$ che tende a $x_{0}$ da destra o da sinistra.

• • nel caso in cui non vi siano asintoti orizzontali, cercare eventualmente gli asintoti obliqui: verificare prima se $\exists \lim _{x\rightarrow \pm \infty }f(x)=\pm \infty$. Se risulta vera ad esempio per $x$ che tende a $+\infty$, allora occorre vedere se $\exists \lim _{x\rightarrow +\infty }{\frac {f(x)}{x}}=m\in \mathbb {R}$ e se essa vale allora verificare se $\exists \lim _{x\rightarrow +\infty }[f(x)-mx]=q\in \mathbb {R}$. Se tali condizioni valgono, allora $y=mx+q$ è asintoto obliquo per $x$ che tende a $+\infty$. Da notare che se vi è un asintoto orizzontale, allora è un asintoto obliquo con $m=0$.

• Derivata prima: calcolarsi la derivata di $f$, determinarsi il dominio della funzione derivata, vedere dove $f$ è crescente o decrescente e trovarsi i punti critici tramite lo studio del segno della funzione derivata e verificare se qualche punto critico è di massimo o di minimo relativo. Trovare eventuali punti angolosi, cuspidi e flessi a tangente verticale facendo i limiti agli estremi del dominio della derivata prima di $f$.

• Derivata seconda: calcolarsi la derivata seconda di $f$, vedere dove $f$ è convessa o concava tramite il suo studio del segno, e trovare gli eventuali punti di flesso.