Il simmetrico, se esiste, è unico.
Dimostrazione:
Siano per assurdo
e
simmetrici di
, con
. Allora, si ha
da cui
-
Definizione: Gruppo
Definizione: Gruppo abeliano
Un gruppo
si dice abeliano se gode della proprietà commutativa.
Esempi.
- è un semigruppo, non ha il simmetrico
- è un semigruppo, non ha il simmetrico
- è un gruppo abeliano
- è un monoide commutativo (sono simmetrizzabili solo )
Definizione: Anello
Una struttura
con due operazioni è un anello se, rispetto alla somma si ha un gruppo abeliano e rispetto al prodotto si ha un semigruppo. Devono inoltre valere le proprietà distributive rispetto alla somma.
Nell'esempio, è un gruppo abeliano, è un semigruppo. Siccome valgono le distributive, allora è un anello.
Definizione: Anello unitario
Un anello
si dice unitario se esiste l'unità moltiplicativa, l'
.
Definizione: Anello commutativo
Un anello
si dice commutativo se l'operazione di prodotto
è commutativa.
Definizione: Divisore dello zero
Un elemento
anello commutativo unitario è divisore dello zero se
Definizione: Dominio d'integrità
Un anello
commutativo unitario è un dominio d'integrità se è privo di divisori dello zero.
Definizione: Campo
Una struttura
con due operazioni,
è un campo se:
- è un gruppo abeliano;
- è un gruppo abeliano;
- valgono le proprietà distributive.
Per esempio,
- è un gruppo abeliano
- è un gruppo abeliano
quindi è un campo. Anche è campo, così come . Nelle classi di resti, è anello, perché è soltanto un semigruppo.
Teorema:
Un elemento invertibile di un anello non può essere divisore dello zero.
Esempio di semigruppo, , con divisori dello zero:
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2 |
4
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3
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4 |
2
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4 |
3 |
2 |
1
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Esempio di gruppo, , senza divisori dello zero:
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0
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1 |
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2
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2 |
1
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Teorema:
L'anello
è campo sse
è un
numero primo.
Dimostrazione:
Per la dimostrazione, abbiamo bisogno di ancora un po' di strumenti.
Teorema:
Lavorando in
, un elemento
è invertibile se, e solo se,
, cioè sono primi tra loro.
Dimostrazione 1:
- Ipotesi: invertibile
- Tesi:
Per assurdo, sia . Allora, , dove è un divisore comune. Si impone
Si ha
Di conseguenza, risulta essere un divisore dello zero, che è assurdo essendo anche un elemento invertibile per ipotersi. Questo significa che
ma, se è divisore dello zero, si ha anche
da cui risulterebbe
che è assurdo.
Dimostrazione 2:
- Ipotesi:
- Tesi: è invertibile
Sia
- , \ \forall [x] \in \mathbb{Z}_n
con . Se in ci sono tutti gli elementi di , compresa l'unità, allora è invertibile. Infatti, se esiste , allora .
Dimostro che , il che vuol dire che .
Si ha , con
- per comodità.
Allora, si ha
da cui
Per ipotesi,
non può dividere
, quindi deve dividere
, ma
, quindi si ha un assurdo, perché dovrebbe essere
.
Teorema enunciato precedentemente:
L'anello
è campo sse
è un
numero primo.
Dimostrazione 1:
campo significa che
è invertibile. Allora, si ha
cioè, nessun numero intero minore di
divide
.
Dimostrazione 2:
Se
è primo, allora
Lemma:
Se
è campo, allora
,
è invertibile.
Il lemma vuol dire che, se tutti i numeri che precedono sono primi con , allora è un numero primo; ne è un numero primo, allora tutti i numeri che lo precedono sono primi con lui.
Definizione: Sottogruppo ciclico
Dato un gruppo
con
, si dice sottogruppo ciclico generato da g,
, il più piccolo sottogruppo di
che contiene
.
In genere, un sottogruppo ciclico è compoeto da tutte le potenze del generatore, cioè
Definizione: Periodo
Dato
, si dice periodo di
,
, il più piccolo intero positivo
tale per cui
.
Il periodo di un elemento coincide con l'ordine del sottogruppo generato dall'elemento stesso.
Definizione: Generatore
Un elemento
di un gruppo ciclico
è un generatore di
.
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7 |
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4 |
3 |
2 |
1
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Osservando la tabella si vede che:
I valori 2, 5, 7 e 11 hanno periodo 12, quindi sono elementi generatori, o elementi primitivi, di .
L'ordine di un sottogruppo di un gruppo finito divide l'ordine del gruppo.
Abbiamo visto che genera sse .
Allora , ci sono 3 possibili sottogruppi di e sono generati da 2, 7 e 11.