Strumenti minimi di teoria degli insiemi

Vengono presentati in questa pagina gli strumenti minimi di teoria degli insiemi, ovvero i concetti che stanno alla base dell'insiemistica e delle relazioni tra insiemi.

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Richiami di Insiemistica Analisi matematica Insiemi, proposizioni e predicati
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Strumenti minimi di teoria degli insiemi
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica

Inclusione

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Dati due insiemi A, B, può accadere che tutti gli elementi del primo insieme siano anche elementi del secondo insieme. Tale situazione, espressa in linguaggio matematico è la formula:

 

Questa proprietà si riassume con un simbolo   detto di "inclusione":  .

Insieme vuoto

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Un insieme vuoto, indicato con il simbolo  , oppure  , è un insieme a cui non appartiene alcun elemento. Qualunque insieme contiene un insieme vuoto.

Uguaglianza

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Dati due insiemi A e B, può accadere che essi siano uguali. In insiemistica "uguali" significa che tutti gli elementi del primo sono anche elementi del secondo insieme, e viceversa. Questa è una definizione di uguaglianza che si dice estensiva, ovvero legata esclusivamente a quali elementi appartengono agli insiemi. Ovviamente questa proprietà si indica con il simbolo =, ed è formalmente equivalente ad una doppia inclusione, ovvero:

 

Infatti, nella maggior parte delle dimostrazioni, per dimostrare un'uguaglianza tra due insiemi si procede separatamente a dimostrare le due inclusioni.

Dati due insiemi A e B, si può ottenere un terzo insieme che abbia tutti gli elementi del primo e tutti gli elementi del secondo insieme. Tale nuovo insieme si chiama unione di A e B e si indica con il simbolo  , e una definizione formale è la seguente:

 

Proprietà

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  • commutatività
  • associatività
  • riflessività

Intersezione

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Dati due insiemi A e B, si può ottenere un terzo insieme che abbia solo gli elementi che sono sia nel primo che nel secondo insieme. Tale nuovo insieme si chiama intersezione di A e B e si indica con il simbolo  , definito con:

 

Proprietà

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  • commutatività
  • associatività
  • riflessività

Differenza

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Dati due insiemi A e B, si definisce differenza   l'insieme degli elementi che appartengono al primo insieme (A) ma non al secondo (B).

 

Insieme complementare

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Nel caso in cui sia  , si definisce insieme complementare il risultato della differenza  . Spesso si sottointende X, ovvero l'insieme in cui A è contenuto, e si indica l'insieme complementare di A soltanto con il simbolo  

Coppia ordinata

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Nulla negli insiemi può distinguere un ordine degli elementi. Si utilizza una definizione apposita per creare un insieme nel quale, a tutti gli effetti, c'è un primo elemento ed un secondo elemento. Questo tipo di insieme si chiama coppia ordinata: dati due elementi x e y, l'insieme

 

A dimostrare che effettivamente x è il primo elemento e y è il secondo, c'è un teorema che stabilisce che: due coppie ordinate (a, b) e (c, d) sono uguali se e solo se a = c e b = d.

Prodotto cartesiano

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Funzione

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Biiezione

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