Strumenti minimi di teoria degli insiemi

Vengono presentati in questa pagina gli strumenti minimi di teoria degli insiemi, ovvero i concetti che stanno alla base dell'insiemistica e delle relazioni tra insiemi.

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Inclusione

Dati due insiemi A, B, può accadere che tutti gli elementi del primo insieme siano anche elementi del secondo insieme. Tale situazione, espressa in linguaggio matematico è la formula:

$\forall x(x\in A\Rightarrow x\in B)$

Questa proprietà si riassume con un simbolo $\subseteq$ detto di "inclusione": $A\subseteq B$.

Insieme vuoto

Un insieme vuoto, indicato con il simbolo $\varnothing$, oppure $\emptyset$, è un insieme a cui non appartiene alcun elemento. Qualunque insieme contiene un insieme vuoto.

Uguaglianza

Dati due insiemi A e B, può accadere che essi siano uguali. In insiemistica "uguali" significa che tutti gli elementi del primo sono anche elementi del secondo insieme, e viceversa. Questa è una definizione di uguaglianza che si dice estensiva, ovvero legata esclusivamente a quali elementi appartengono agli insiemi. Ovviamente questa proprietà si indica con il simbolo =, ed è formalmente equivalente ad una doppia inclusione, ovvero:

$A=B\Leftrightarrow (A\subseteq B\wedge B\subseteq A)$

Infatti, nella maggior parte delle dimostrazioni, per dimostrare un'uguaglianza tra due insiemi si procede separatamente a dimostrare le due inclusioni.

Unione

Dati due insiemi A e B, si può ottenere un terzo insieme che abbia tutti gli elementi del primo e tutti gli elementi del secondo insieme. Tale nuovo insieme si chiama unione di A e B e si indica con il simbolo $A\cup B$, e una definizione formale è la seguente:

$A\cup B=\{x\mid x\in A\vee x\in B\}$

Proprietà

• commutatività
• associatività
• riflessività

Intersezione

Dati due insiemi A e B, si può ottenere un terzo insieme che abbia solo gli elementi che sono sia nel primo che nel secondo insieme. Tale nuovo insieme si chiama intersezione di A e B e si indica con il simbolo $A\cap B$, definito con:

$A\cap B=\{x\mid x\in A\wedge x\in B\}$

Proprietà

• commutatività
• associatività
• riflessività

Differenza

Dati due insiemi A e B, si definisce differenza $A\setminus B$ l'insieme degli elementi che appartengono al primo insieme (A) ma non al secondo (B).

$A\setminus B=\{x\mid x\in A\wedge x\not \in B\}$

Insieme complementare

Nel caso in cui sia $A\subseteq X$, si definisce insieme complementare il risultato della differenza $X\setminus A$. Spesso si sottointende X, ovvero l'insieme in cui A è contenuto, e si indica l'insieme complementare di A soltanto con il simbolo $A^{C}\,$

Coppia ordinata

Nulla negli insiemi può distinguere un ordine degli elementi. Si utilizza una definizione apposita per creare un insieme nel quale, a tutti gli effetti, c'è un primo elemento ed un secondo elemento. Questo tipo di insieme si chiama coppia ordinata: dati due elementi x e y, l'insieme

$(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}\,$

A dimostrare che effettivamente x è il primo elemento e y è il secondo, c'è un teorema che stabilisce che: due coppie ordinate (a, b) e (c, d) sono uguali se e solo se a = c e b = d.

Prodotto cartesiano

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Funzione

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Biiezione

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