Strumenti minimi di teoria degli insiemi

Vengono presentati in questa pagina gli strumenti minimi di teoria degli insiemi, ovvero i concetti che stanno alla base dell'insiemistica e delle relazioni tra insiemi.

Questa voce di Insiemistica sembra trattare lo stesso argomento, o comunque argomenti unificabili, a quelli della risorsa Richiami di Insiemistica. Puoi contribuire unendo i contenuti in una pagina unica, secondo le linee guida. (Vedi anche la lista delle altre pagine da unire).

Lezione precedente	Materia	Lezione successiva
Richiami di Insiemistica	Analisi matematica	Insiemi, proposizioni e predicati

lezione Strumenti minimi di teoria degli insiemi
	Tipo: lezione
	Materia: Analisi matematica

InclusioneModifica

Dati due insiemi A, B, può accadere che tutti gli elementi del primo insieme siano anche elementi del secondo insieme. Tale situazione, espressa in linguaggio matematico è la formula:

$\forall x(x\in A\Rightarrow x\in B)$

Questa proprietà si riassume con un simbolo $\subseteq$ detto di "inclusione": $A\subseteq B$ .

Insieme vuotoModifica

Un insieme vuoto, indicato con il simbolo $\varnothing$ , oppure $\emptyset$ , è un insieme a cui non appartiene alcun elemento. Qualunque insieme contiene un insieme vuoto.

UguaglianzaModifica

Dati due insiemi A e B, può accadere che essi siano uguali. In insiemistica "uguali" significa che tutti gli elementi del primo sono anche elementi del secondo insieme, e viceversa. Questa è una definizione di uguaglianza che si dice estensiva, ovvero legata esclusivamente a quali elementi appartengono agli insiemi. Ovviamente questa proprietà si indica con il simbolo =, ed è formalmente equivalente ad una doppia inclusione, ovvero:

$A=B\Leftrightarrow (A\subseteq B\wedge B\subseteq A)$

Infatti, nella maggior parte delle dimostrazioni, per dimostrare un'uguaglianza tra due insiemi si procede separatamente a dimostrare le due inclusioni.

UnioneModifica

Dati due insiemi A e B, si può ottenere un terzo insieme che abbia tutti gli elementi del primo e tutti gli elementi del secondo insieme. Tale nuovo insieme si chiama unione di A e B e si indica con il simbolo $A\cup B$ , e una definizione formale è la seguente:

$A\cup B=\{x\mid x\in A\vee x\in B\}$

ProprietàModifica

commutatività
associatività
riflessività

IntersezioneModifica

Dati due insiemi A e B, si può ottenere un terzo insieme che abbia solo gli elementi che sono sia nel primo che nel secondo insieme. Tale nuovo insieme si chiama intersezione di A e B e si indica con il simbolo $A\cap B$ , definito con:

$A\cap B=\{x\mid x\in A\wedge x\in B\}$

ProprietàModifica

commutatività
associatività
riflessività

DifferenzaModifica

Dati due insiemi A e B, si definisce differenza $A\setminus B$ l'insieme degli elementi che appartengono al primo insieme (A) ma non al secondo (B).

$A\setminus B=\{x\mid x\in A\wedge x\not \in B\}$

Insieme complementareModifica

Nel caso in cui sia $A\subseteq X$ , si definisce insieme complementare il risultato della differenza $X\setminus A$ . Spesso si sottointende X, ovvero l'insieme in cui A è contenuto, e si indica l'insieme complementare di A soltanto con il simbolo $A^{C}\,$

Coppia ordinataModifica

Nulla negli insiemi può distinguere un ordine degli elementi. Si utilizza una definizione apposita per creare un insieme nel quale, a tutti gli effetti, c'è un primo elemento ed un secondo elemento. Questo tipo di insieme si chiama coppia ordinata: dati due elementi x e y, l'insieme

$(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}\,$

A dimostrare che effettivamente x è il primo elemento e y è il secondo, c'è un teorema che stabilisce che: due coppie ordinate (a, b) e (c, d) sono uguali se e solo se a = c e b = d.

Prodotto cartesianoModifica

Consultare Prodotto cartesiano

FunzioneModifica

Consultare Funzione

BiiezioneModifica

Consultare Biiezione