Serie di funzioni: differenze tra le versioni

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La serie di termine generale <math>|x/x_0|^n\,\!</math> è la serie geometrica di ragione strettamente minore di 1, e quindi convergente. Da ciò segue che la serie di potenze di coefficienti <math>((n+1)a_{n+1})_{n \in \N_0}\,\!</math>, ossia la serie derivata, converge in ogni punto <math>|x|<|x_0|\,\!</math>, da cui segue che <math>\rho\le\rho'\,\!</math>.
 
<math>\rho\ge\rho')\,\!</math> Supponiamo che la serie derivata converge in <math>x_0\,\!</math>. Allora, come prima: <math>\exists M>0 : |(n+1)a_{n+1}x_0^n|\le LM \forall n \in \N_0</math>, quindi, <math>\forall |x|<|x_0|, \forall n \in \N</math>:<br />
<math>|a_nx^n|=\frac{1}{n}\frac{|na_nx_0^n|}{|x_0^n|}|x^n|=\frac{1}{n}|na_nx_0^{n-1}||x_0|\left|\frac{x}{x_0}\right|^n\le \frac{M|x_0|}{n}\left|\frac{x}{x_0}\right|^n \le M|x_0|\left|\frac{x}{x_0}\right|^n</math>.<br />
La serie di termine generale <math>|x/x_0|^n\,\!</math> converge, perché è la serie di ragione strettamente minore di 1, da cui segue che la serie di potenze di coefficienti <math>(a_n)_{n \in \N_0}\,\!</math> converge in ogni punto <math>|x|<|x_0|\,\!</math>, da cui segue che <math>\rho\ge\rho'\,\!</math>.{{endproof}}