:<math> \{ s \in \Omega \ t.c. \ X(s) \in E \} \in F \ \ \forall E \in \xi</math> }}
Se uno spazio è discreto, basta definire le probabilità sugli eventi elementari della <math>\sigma</math>-algebra. Se <math>\Omega</math> è contiunocontinuo, è impossibile definire le probabilità per ogni elemento della <math>\sigma</math>-algebra. Avevamo definito una probabilità su un'algebra che ci permette di generare la <math>\sigma</math>-algebra di interesse, in modo tale da estendere la misura di probabilità alla <math>\sigma</math>-algebra. La stessa cosa accade qui: andiamo a trovare la controimmagine per un sottoinsieme di boreliani, e possiamo poi estendere a tutti gli eventi che sono nell'insieme boreliano. È la stessa cosa. Usiamo la funzione X per generare il nostro sottoinsieme di eventi, verifichiamo che esistano le controimmagini sul sottoinsieme definito ed abbiamo finito.
Abbiamo visto che <math>\mathbb{B(R)}</math> può essere costruita come la più piccola <math>\sigma</math>-algebra che contiene insiemi del tipo <math>(-\infty,b] \in \mathbb{R}</math>. Dati quindi <math>\{ \Omega, F, P \}</math> e <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math>, <math>X</math> è una variabile casuale se
