Analisi cinematica di sistemi di travi piane: differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
Creata pagina con '{{Risorsa|tipo=lezione|materia=Scienza delle costruzioni}} Per poter efficacemente studiare la trave piana definita in precedenza, è necessario considerare i '''vincoli''' a ...' |
Nessun oggetto della modifica |
||
Riga 61:
In precedenza si sono utilizzati termini come ''potenzialmente'' e ''potrebbero'', i quali non sono stati inseriti in maniera casuale: la condizione che sia <math>g \ge 3</math>, infatti, è una condizione '''necessaria ma non sufficiente''' affinchè vengano eliminate tutte le possibili componenti di spostamento. Può accadere, infatti, che i vincoli si rivelino '''inefficaci''', e cioè non in grado di eliminare completamente qualsiasi possibile movimento della trave o del sistema di travi. Per comprendere meglio quanto detto giova fare un esempio.
{{Todo|Inserire immagine (b)}}
Si consideri ad esempio una trave singola vincolata per mezzo di tre carrelli disposti in posizione generica ma aventi gli assi disposti parallelamente. Dal momento che ci sono tre carrelli, i quali sono vincoli semplici, il grado di vincolo sarà <math>g=3</math>, uguale ai gradi di libertà posseduti dalla trave. Tuttavia appare intuitivo che la trave vincolata in questo modo può scorrere nella direzione perpendicolare agli assi dei vincoli, dal momento che nessuno dei vincoli cui è sottoposta è in grado di sopprimere quel grado di libertà. La trave, dunque, è '''a vincoli inefficaci'''.
Riga 75:
Una volta dimostrata l'efficacia dei vincoli, è possibile affermare che una trave isostatica a vincoli efficaci è ''staticamente determinata'', e cioè esiste un unico insieme di valori delle reazioni vincolari in grado di garantire l'equilibrio. Una trave iperstatica, al contrario, possiede un numero di reazioni vincolari ignote (uguale al grado di vincolo) maggiore delle equazioni di equilibrio disponibili (che sono 3).
==Maglie chiuse==
Un caso particolare, che potrebbe sfuggire all'attenzione, è rappresentato dalle maglie chiuse.
{{Todo|Inserire immagine}}
Si consideri un sistema di travi piane che costituisca una maglia chiusa, e cioè che sia disposta in modo da realizzare un percorso chiuso, ad esempio un quadrato. Si consideri, inoltre, che tale sistema di travi sia sottoposta ad un insieme di vincoli esterni tale da rendere il tutto ''esternamente'' isostatico a vincoli efficaci, ad esempio inserendo tre carrelli i cui assi non convergano in nessun punto in comune.
Si definisce '''sconnessione interna''' l'azione di rendere possibile una componente di spostamento prima bloccata per effetto della continuità per mezzo di un vincolo interno.<ref>Un vincolo interno è un vincolo che invece di eliminare le componenti di spostamento in senso assoluto del punto considerato elimina le componenti di spostamento mutue tra i punti vicini al vincolo. La definizione dei vincoli interni è esattamente identica a quella dei vincoli esterni.</ref> Come per i vincoli, è possibile distinguere le sconnessioni in semplici (doppio pendolo e cerniera) se permettono una sola componente di spostamento relativa, doppie (carrello, pendolo, doppio doppio pendolo) se ne permettono due, triple (estremo libero) se le permettono tutte. Come si può osservare esiste una stretta correlazione tra il grado di vincolo offerto dal vincolo stesso e il grado di sconnessione: detto <math>g</math> il grado di vincolo e <math>s</math> il grado di sconnessione, deve essere sempre <math>g+s=3</math>.
{{Todo|Inserire immagine}}
Immaginiamo ora di effettuare una sconnessione semplice in un generico punto <math>P</math> del sistema, ad esempio inserendo una cerniera: il sistema è ancora impossibilitato ad effettuare qualsiasi spostamento.
{{Todo|Inserire immagine}}
Sconnettendo ulteriormente il sistema, ad esempio ancora nel generico punto <math>P</math> considerato in precedenza inserendo un pendolo invece della cerniera, si osserva che la situazione non cambia, e il sistema non presenta ancora nessuna possiblità di movimento.
{{Todo|Inserire immagine}}
Continuando a sconnettere ulteriormente il sistema, ad esempio ancora nel punto <math>P</math> sostituendo al pendolo una sconnessione totale, il tutto è ancora impossibilitato a muoversi.
{{Todo|Inserire immagine}}
Se si effettua un'ulteriore sconnessione, però, inserendo ad esempio una cerniera in un altro generico punto, il sistema si presenta labile, e cioè sono possibili degli spostamenti.
Il sistema originario, cioè, presenta una ''iperstaticità interna'' di grado 3, rappresentata dal vincolo di continuità (che è l'omologo del vincolo di incastro nel caso di vincolo interno) presente nel punto generico <math>P</math>. Si osserva, infatti, che nel momento in cui si è giunti alla sconnessione totale nel punto <math>P</math> il sistema è effettivamente isostatico a vincoli efficaci, dal momento che è un unico corpo (3 gradi di libertà) con un grado di vincolo pari a 3.
Questa situazione si presenta in qualsiasi caso in cui esista una maglia chiusa.
==Iperstaticità e labilità interne==
{{Todo|Inserire immagine}}
Non ci si lasci ingannare dal fatto che nell'esempio si è agito sempre in corrispondenza del punto <math>P</math>: si può giungere esattamente alle stesse conclusioni effettuando le sconnessioni in punti sempre diversi del sistema. A questo proposito vale la pena considerare un caso particolare: si consideri di effettuare le tre sconnessioni necessarie in tre punti differenti <math>P_1P_2P_3</math> appartenenti allo stesso lato del quadrato, ad esempio inserendo una cerniera in ognuno di questi punti. Questi tre punti rappresentano i centri di rotazione relativi dei tre tronchi che si sono costituiti per effetto delle sconnessioni, essendo appartenenti al medesimo lato sono allineati, e per il secondo dei principi delle catene cinematiche precedentemente esposti formano effettivamente una catena cinematica.
{{Todo|Inserire immagine (a)}}
Per effetto di questa osservazione si potrebbe '''erroneamente''' giungere alla conclusione che il sistema ha un grado di iperstaticità interna pari a 2, dal momento che con la terza sconnessione si è giunti a rendere labile il sistema. In realtà non tutto il sistema è labile: se si considera il tronco che possiede anche gli altri tre lati del quadrato, infatti, si può osservare che esso è una volta iperstatico internamente, come si può facilmente dimostrare effettuando una sconnessione in uno degli altri lati del quadrato.
Questo esempio ci permette di fare un'osservazione molto importante: è possibile che la struttura in generale sia in parte iperstatica e in parte labile.
{{Todo|Inserire immagine}}
Considerando la parte labile, si osserva che è possibile identificare univocamente la configurazione assunta da questa parte di struttura per mezzo di un unico parametro, rappresentato dalla coordinata del punto <math>P_2</math>. Il ''grado di labilità'' <math>l</math>, cioè, è pari a 1. Sulla parte iperstatica si è già detto che è necessaria una sola sconnessione per renderla isostatica, per cui il ''grado di iperstaticità'' <math>i</math> è anch'esso pari a 1. Dal momento che esistono 3 vincoli esterni semplici e 3 vincoli interni doppi il grado di vincolo complessivo della struttura è <math>g=(3\cdot 1+3\cdot 2)=9</math>. I gradi di libertà complessivi dei singoli tronchi prima di essere vincolati, dal momento che ne sono 3 e ognuno di essi ha 3 gradi di libertà, è pari a <math>gdl=3\cdot 3=9</math>.
{{Todo|Inserire immagine (a)}}
Considerando il caso precedentemente valutato per studiare l'iperstaticità del tronco avente anche gli altri lati del quadrato si ha: <math>l=1\;i=0\;g=11\;gdl=12</math>
{{Todo|Inserire immagine}}
Se invece di mettere l'ulteriore cerniera su un altro lato del quadrato la si mette sempre sullo stesso lato in un punto <math>P_4</math>, per definire univocamente la configurazione del sistema sono necessari due parametri, rappresentati dalle posizioni di <math>P_2,P_3</math>. Quindi: <math>l=2\;i=1\;g=11\;gdl=12</math>
Come si può osservare esiste una correlazione tra le grandezze prese in considerazione, e cioè:
<math>l-i\;=\;gdl-g</math>
In pratica i gradi di labilità e di iperstaticità delle varie parti della struttura sono collegati al numero di gradi di libertà che non sono stati eliminati.
{{Todo|Inserire immagine (b)}}
A questo proposito è opportuno riconsiderare il caso della trave con tre carrelli paralleli. In questo caso appare ovvio che <math>gdl-g=0</math>, ma si è anche detto che la disposizione dei vincoli è inefficace. In particolare si osserva che per identificare la configurazione assunta dal sistema è necessario un solo parametro, rappresentato dalla posizione di un punto generico rispetto alla direzione dell'asse della trave, per cui <math>l=1</math>. Il grado di iperstaticità, dunque, sarà <math>i=1</math>, e si osserva che esso è concentrato nella direzione ortogonale all'asse della trave: se si elimina uno dei carrelli, cioè, il sistema è ancora impedito di muoversi in quella direzione.
L'iperstaticità e la labilità, cioè, possono concentrarsi anche in una data direzione di spostamento.
==Imperfezioni dei vincoli==
Un altro aspetto importante di cui tenere conto a proposito dei vincoli è la loro imperfezione, che è un aspetto completamente differente dalla loro efficacia. Un vincolo si dice '''perfetto''' quando è in grado di eliminare completamente gli spostamenti o lo spostamento ad esso relativo e non ha alcuna influenza sugli altri. In pratica, facendo un esempio, un carrello è perfetto quando elimina completamente la componente di spostamento perpendicolare al suo asse di scorrimento e non influenza minimamente la traslazione nell'altra direzione e la rotazione.
I vincoli reali, tuttavia, non sono mai perfetti. Usualmente si considera che i vincoli siano comunque ''lisci e privi di attrito'', e cioè si trascurano gli effetti sulle altre componenti di spostamento, mentre la possibilità che il vincolo non elimini completamente la relativa componente di spostamento è tenuta in conto per mezzo del '''cedimento del vincolo'''.
Il cedimento del vincolo è esattamente la traslazione o la rotazione del punto vincolato nonostante la presenza del vincolo stesso. Se l'entità di questo spostamento è indipendente dalla reazione del vincolo considerato il cedimento è detto '''anelastico''', mentre in caso contrario è chiamato '''elastico'''.
==Note==
| |||