Il problema di Saint Venant: differenze tra le versioni
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Equazioni di congruenza:
<math>\begin{cases}
\epsilon_x=\frac{\delta v_x}{\delta
\epsilon_{xy}=\frac{1}{2}\left(\frac{\delta v_x}{\delta y}+\frac{\delta v_y}{\delta x}\right) \\
\epsilon_{xz}=\frac{1}{2}\left(\frac{\delta v_x}{\delta z}+\frac{\delta v_z}{\delta x}\right) \\
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Equazioni costitutive:
<math>\begin{cases}
\epsilon_{
\epsilon_{
\epsilon_{
\gamma_{
\gamma_{
\gamma_{
\end{cases}</math>
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<math>\begin{cases}
\tau_{zx}=-p_x' \\
\tau_{zy}=-p_y' \\
\sigma_z=-p_z'
\end{cases}
(z=0)</math><ref>Dal momento che sulle basi la normale alla superficie ha la stessa direzione dell'asse <math>z</math>, le componenti del vettore di tensione si riducono ad essere quelle espresse nelle condizioni precedenti. A differenza del caso della superficie laterale, tuttavia, le tensioni non si devono annullare ma devono avere un valore uguale all'azione esterna. Si fa notare che si considerano tutte le componenti del vettore di tensione: ad un primo impatto, infatti, si potrebbe ritenere necessario considerare solo la <math>\sigma_z</math>, ma ad un'osservazione più attenta dovrebbe rivelarsi ovvio che è necessario considerare anche la possibilità che sulle basi vengano impresse azioni tangenziali</ref>
==Il metodo risolutivo di Saint Venant==
Il problema, posto in questi termini, presenta enormi difficoltà analitiche per la sua risoluzione. Lo stesso de Saint Venant non giunse alla soluzione del problema risolvendo direttamente questi sistemi di equazioni differenziali, ma per mezzo di un metodo ''seminverso'': tale metodo consiste nell'imporre a priori alcune caratteristiche della soluzione cercata per poi ricercarne le altre per mezzo delle equazioni a disposizione. La scelta di tali caratteristiche, naturalmente, deve essere tale da presentare una certa validità fisica.
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{{Cassetto|Significato fisico di queste ipotesi|
{{Todo|Inserire immagine}}
Per comprendere cosa significa fisicamente questa imposizione matematica si consideri una generica fibra elementare del corpo parallela all'asse <math>z</math> del corpo stesso. Noto che le generiche componenti di tensioni <math>\sigma_{n\nu}</math> possono essere espresse in funzione delle componenti di tensione secondo tre direzioni normali <math>1,2,3</math> nel modo seguente:
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}}
Con tale ipotesi le equazioni di equilibrio e costitutive precedenti si riducono a:
<math>\begin{cases}
\frac{\delta \tau_{xz}}{\delta z}=0 \\
\frac{\delta \tau_{yz}}{\delta z}=0 \\
\frac{\delta \tau_{xz}}{\delta z}+\frac{\delta \tau_{yz}}{\delta y}+\frac{\delta \sigma_{z}}{\delta z}=0
\end{cases}</math>
<math>\begin{cases}
\epsilon_{x}=-\frac{1}{E} \nu \sigma_{z} \\
\epsilon_{y}=-\frac{1}{E} \nu \sigma_{z} \\
\epsilon_{z}=\frac{1}{E} \sigma_{z} \\
\gamma_{xy}=0 \\
\gamma_{xz}=\frac{1}{G}\tau_{xz} \\
\gamma_{yz}=\frac{1}{G}\tau_{yz}
\end{cases}</math><ref>In base a quanto scritto si deduce che due fibre parallele agli assi <math>x,y</math> si mantengono ortogonali tra loro dopo la deformazione (dal momento che <math>\gamma_{xy}=0</math> rappresenta lo scorrimento mutuo tra queste due direzioni). Dal momento che non sono state fatte specificazioni di sorta sulle direzioni in analisi eccetto di appartenere al piano della sezione trasversale, si può affermare che due direzioni qualsiasi appartenenti al piano della sezione trasversale originariamente ortogonali si mantengono tali anche dopo la deformazione</ref>
Le condizioni al contorno lungo la superficie laterale si riducono a:
<math>\begin{cases}
0=0 \\
0=0 \\
\tau_{zx}n_x+\tau_{zy}n_y=0
\end{cases}</math><ref>Tale espressione, che è l'unica non identicamente nulla in questa serie di condizioni, equivale a dire che la tensione lungo la frontiera del corpo ha direzione tangente alla frontiera stessa. In forma vettoriale, infatti, l'espressione equivale al prodotto scalare tra il vettore della tensione <math>t</math> e la direzione perpendicolare al contorno <math>n</math>, il quale è nullo solo quando i due vettori considerati sono ortogonali tra loro</ref>
Le equazioni al contorno lungo le basi e quelle di congruenza si mantengono, invece, inalterate:
<math>\begin{cases}
\tau_{zx}=p_x \\
\tau_{zy}=p_y \\
\sigma_z=p_z
\end{cases}
(z=l)</math>
<math>\begin{cases}
\tau_{zx}=-p_x' \\
\tau_{zy}=-p_y' \\
\sigma_z=-p_z'
\end{cases}
(z=0)</math>
<math>\begin{cases}
\epsilon_x=\frac{\delta v_x}{\delta x} \\
\epsilon_{xy}=\frac{1}{2}\left(\frac{\delta v_x}{\delta y}+\frac{\delta v_y}{\delta x}\right) \\
\epsilon_{xz}=\frac{1}{2}\left(\frac{\delta v_x}{\delta z}+\frac{\delta v_z}{\delta x}\right) \\
\epsilon_y=\frac{\delta v_y}{\delta y} \\
\epsilon_{yz}=\frac{1}{2}\left(\frac{\delta v_y}{\delta z}+\frac{\delta v_z}{\delta y}\right) \\
\epsilon_z=\frac{\delta v_z}{\delta z}
\end{cases}</math>
Volendo esprimere tutte le equazioni in funzione solo delle componenti di spostamento <math>v_i</math>, basta partire dall'ultima serie di equazioni riportate e sostituire via via tutti i termini.
Dalle equazioni costitutive si ottiene prima di tutto che, dovendo essere <math>\epsilon_x=\epsilon_y</math>, deve essere:
<math>\frac{\delta v_x}{\delta x}=\frac{\delta v_y}{\delta y}=-\nu\frac{\delta v_z}{\delta z}</math>
poi, dovendo essere <math>\gamma_{xy}=0</math>:
<math>\frac{\delta v_x}{\delta y}=-\frac{\delta v_y}{\delta x}</math>
e infine:
<math>\begin{cases}
\sigma_{z}=-\frac{E}{\nu}\frac{\delta v_x}{\delta x}=-\frac{E}{\nu}\frac{\delta v_y}{\delta y}=E\frac{\delta v_z}{\delta z} \\
\tau_{xz}=G\left(\frac{\delta v_x}{\delta z}+\frac{\delta v_z}{\delta x}\right) \\
\tau_{yz}=G \left(\frac{\delta v_y}{\delta z}+\frac{\delta v_z}{\delta y}\right)
\end{cases}</math>
Dalle equazioni di equilibrio si deduce:
<math>\begin{cases}
\frac{\delta}{\delta z} \left(\frac{\delta v_x}{\delta z}+\frac{\delta v_z}{\delta x}\right)=0 \\
\frac{\delta}{\delta z}\left(\frac{\delta v_y}{\delta z}+\frac{\delta v_z}{\delta y}\right)=0 \\
\frac{\delta^2 v_z}{\delta x^2}+\frac{\delta^2v_z}{\delta y^2}+2\frac{\delta^2v_z}{\delta z^2}=0
\end{cases}</math>
Le condizioni ai limiti sulla superficie laterale impongono:
<math>\left(\frac{\delta v_x}{\delta z}+\frac{\delta v_z}{\delta x}\right)n_x+\left(\frac{\delta v_y}{\delta z}+\frac{\delta v_z}{\delta y}\right)n_y=0</math>
Sulle basi si ha:
<math>\begin{cases}
G\left(\frac{\delta v_x}{\delta z}+\frac{\delta v_z}{\delta x}\right)=p_x \\
G \left(\frac{\delta v_y}{\delta z}+\frac{\delta v_z}{\delta y}\right)=p_y \\
E\frac{\delta v_z}{\delta z}=p_z
\end{cases}
(z=l)</math>
<math>\begin{cases}
-G\left(\frac{\delta v_x}{\delta z}+\frac{\delta v_z}{\delta x}\right)=p_x' \\
-G \left(\frac{\delta v_y}{\delta z}+\frac{\delta v_z}{\delta y}\right)=p_y' \\
-E\frac{\delta v_z}{\delta z}=p_z'
\end{cases}
(z=0)</math>
==Note==
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