Insiemi, proposizioni e predicati: differenze tra le versioni

Il primo approccio alla logica deve seguire la teoria naive degli insiemi. Senza bisogno di definizioni e formalismi, tutti posseggono un' idea di cosa sia un insieme: si può parlare dell'insieme dei numeri naturali, e dell'insieme dei numeri pari, così come dell'insieme dei medici italiani. Qualcuno fa parte dell'insieme dei medici, qualcuno non ne fa parte; qualcuno ne fa parte dell'insieme dei medici, ma non merita di farne parte. Queste sottigliezze, però, non esistono in matematica: ogni insieme è chiaramente e completamente definito senza ambiguità. Infatti non ci sono dubbi, per chi conosce la materia, su quali elementi appartengano o meno all'insieme dei numeri naturali: 1 vi appartiene, 162345 vi appartiene, -5 non vi appartiene, Garibaldi non vi appartiene. Già, perché la matematica non si limita a trattare solo i numeri. Attraverso l'insiemistica può definire categorie, cioè insiemi, per qualsiasi elemento. Si potrebbe quindi parlare dell'insieme degli attori di teatro, dell'insieme dei giorni della settimana, etcetera. A questo livello, tutto quello che ci si domanda è: «Quali elementi appartengono a questo insieme?»

 

 

Un altro tipo concetti che il matematico si ritrova spesso a scrivere in gran quantità sono le relazioni logiche. L'esempio più classico è quello del sillogismo: "Ogni uomo è un animale e Socrate è un uomo quindi Socrate è un animale". Fino a che si fanno ragionamenti così semplici bastano le parole, ma la matematica si addentra in verità ben più complicate; sono stati sviluppati quindi per maggiore chiarezza dei simboli per sintetizzare le relazioni logiche, che nella lingua, di solito, sono congiunzioni. Il sillogismo di prima diventa quindi