Oscillatore armonico (meccanica quantistica): differenze tra le versioni

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con la coordinata <math>q</math> e il momento <math>p</math> legate dalla relazione <center><math>[q,p]=i\hbar.</math></center>
==Autovalori e autovettori dell'Hamiltoniana==
==Problema agli autovalori==
Per semplificare la trattazione ed evitare di riscrivere le costanti in ogni calcolo, poniamo:
<center><math>H=\frac{\mathcal{H}}{\hbar\omega},\quad Q=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\,q,\quad P=\sqrt{\frac{1}{m\hbar\omega}}\,p.</math></center>
Trasformiamo il nostro problema in quello ''equivalente'' di trovare gli autovalori e di costruire gli autovettori dell'operatore
<center><math>H=\frac{1}{2}(P^2+Q^2),\qquad [Q,P]=i.</math></center>
Il problema può essere risolto considerando ad esempio la rappresentazione <math>\{Q\}</math>, e risolvendo l'equazione di Schrödinger (indipendente dal tempo) associata, ovvero, essendo <math>P=-i\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}Q}:</math>
 
<center><math>\frac{1}{2}\left[-\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}Q^2}+Q^2\right]\varphi(Q)=\varepsilon \varphi(Q).</math></center>
<center><math>H=N+\frac{1}{2},\quad Na=a(N-1),\quad Na^\dagger=a^\dagger(N+1).</math></center>
 
Abbiamo così cambiato il nostro problema in quello equivalente di costruire gli autovettori di <math>N</math> (si vede subito che èsi tratta di un operatore hermitiano).
 
{{matematica dimostrazione|Teorema|Caratterizzazione degli autoavalori di <math>N</math>|
 
 
Sia ora <math>\nu >0</math>; possiamo applicare il teorema al vettore <math>a|\nu\rangle</math>, appartenente all'autovalore <math>\nu-1</math>: questo implica <math>\nu \ge 1</math>.
==Note==
<references/>
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