Oscillatore armonico (meccanica quantistica): differenze tra le versioni
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Abbiamo così cambiato il nostro problema in quello equivalente di costruire gli autovettori di <math>N</math> (si vede subito che è un operatore hermitiano).
{{matematica dimostrazione|Teorema|Caratterizzazione degli autoavalori di <math>N</math>|
Se <math>|\nu\rangle</math> è un autovettore di <math>N</math>, appartenente all'autovalore <math>\nu</math>, allora:
# <math>\nu \ge 0;</math>
# <math>\nu = 0 \Rightarrow a |\nu\rangle = 0;</math>
# Se <math>\nu \ne 0,\,|\nu\rangle</math> è un vettore non nullo di norma <math>\nu\langle\nu|\nu\rangle,</math> ed è un autovettore di <math>N</math> appartenente all'autovalore <math>\nu -1;</math>
# <math>a^\dagger|\nu\rangle</math> è ''sempre'' un vettore non nullo di norma <math>(\nu+1)\langle\nu|\nu\rangle,</math> ed è un autovettore di <math>N</math> appartenente all'autovalore <math>\nu +1.</math>|
<!-- dimostrazione -->
Dalla definizione di norma sul nostro spazio di Hilbert ricaviamo:
<math>\|a|\nu\rangle\|^2=\langle\nu|a^\dagger a|\nu\rangle=\langle\nu|N|\nu\rangle=\nu\langle\nu|\nu\rangle;</math>
<math>\|a^\dagger|\nu\rangle\|^2=\langle\nu|a a^\dagger|\nu\rangle=\langle\nu|N+1|\nu\rangle=(\nu+1)\langle\nu|\nu\rangle.</math>
In uno spazio di Hilbert, la norma di un vettore è non negativa, ed è uguale a 0 se e solo se si tratta del vettore nullo; questa proprietà è garantita se e solo <math>\nu\ge 0.</math>
È ovvio che nel caso in cui <math>\nu=0</math>, il vettore <math>a|\nu\rangle</math> coincide col vettore nullo. Inoltre troviamo:
<math>Na|\nu\rangle=a(N-1)|\nu\rangle=(\nu-1)a|\nu\rangle;</math>
<math>Na^\dagger|\nu\rangle=a^\dagger(N+1)|\nu\rangle=(\nu+1)a^\dagger|\nu\rangle.</math>
}}
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