Oscillatore armonico (meccanica quantistica): differenze tra le versioni

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==Introduzione==
In meccanica classica, si definisce '''oscillatore armonico''' (nel seguito abbreviato in ''O.A.'') un sistema meccanico soggetto ad una forza di richiamo proporzionale allo spostamento dalla ''posizione di equilibrio''; si stratta di un problema ampiamente studiato, di cui è nota la soluzione.
Inizieremo col considerare il caso più semplice di un sistema ''unidimensionale'', per poi generalizzare la trattazione in seguito.
 
In un O.A. unidimensionale, la particella è vincolata a muoversi su di un asse. Sia <math>q</math> la ''coordinata'' della sua posizione sull'asse, con il centro della forza come origine, <math>p</math> il suo ''momento'', <math>m</math> la sua massa e <math>F=-m\omega^2 q</math> la forza di richiamo cui è soggetta. Il problema corrispondete in meccanica quantistica è quello di una particella di massa <math>m</math>, con Hamiltoniana
 
<center><math>\mathcal{H}=\frac{1}{2m}(p^2+m^2\omega^2q^2),</math></center>
 
con la coordinata <math>q</math> e il momento <math>p</math> legate dalla relazione <center><math>[q,p]=i\hbar.</math></center>
==Problema agli autovalori==
Per semplificare la trattazione ed evitare di riscrivere le costanti in ogni calcolo, poniamo:
<center><math>H=\frac{\mathcal{H}}{\hbar\omega},\quad Q=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\,q,\quad P=\sqrt{\frac{1}{m\hbar\omega}}\,p.</math></center>
Trasformiamo il nostro problema in quello ''equivalente'' di trovare gli autovalori e di costruire gli autovettori dell'operatore
<center><math>H=\frac{1}{2}(P^2+Q^2),\qquad [Q,P]=i.</math></center>
Il problema può essere risolto considerando ad esempio la rappresentazione <math>{Q}</math>, e risolvendo l'equazione di Schrödinger (indipendente dal tempo) associata, ovvero, essendo <math>P=-i\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}Q}:</math>
 
<center><math>\frac{1}{2}\left[-\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}Q^2}+Q^2\right]\varphi(Q)=\varepsilon \varphi(Q).</math></center>
 
Tuttavia seguiremo un metodo diverso, dovuto a [[w:Paul Dirac|Dirac]], che consiste nella costruzione degli autovettori di <math>H</math> applicando un particolare operatore ad uno di essi.
 
Poniamo:
<center><math>a=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(Q+iP\right),\quad a^\dagger=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(Q-iP\right).</math></center>
Ognuno di tali operatori è l'hermitiano coniugato dell'altro, e si verifica facilmente che:
<center><math>[a,a^\dagger]=1,\quad H=\frac{1}{2}(a a^\dagger + a^\dagger a),\quad Q=\frac{\sqrt{2}}{2}(a+a^\dagger),\quad P=\frac{\sqrt{2}}{2i}(a-a^\dagger).</math></center>
 
Ponendo <math>N=a^\dagger a</math>, si ricava<ref><math>[a,a^\dagger]=1\iff a a^\dagger -N =1 \iff N= a a^\dagger -1.</math></ref>:
<center><math>H=N+\frac{1}{2},\quad Na=a(N-1),\quad Na^\dagger=a^\dagger(N+1).</math></center>
 
Abbiamo così cambiato il nostro problema in quello equivalente di costruire gli autovettori di <math>N</math> (si vede subito che è un operatore hermitiano).
 
 
==Note==
<references/>
==Bibliografia==
*Albert Messiah, ''Quantum Mechanics'', Dover Publications, 1999. ISBN 0-486-40924-4
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