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=Prerequisiti=
* [[Wikiversità:Facoltà di IngengeriaIngegneria:Elettrotecnica]]
* [[Wikiversità:Facoltà di IngengeriaIngegneria:Controlli Automatici]]
=Materiale=
=Parte 1=
* [[Comunicazioni elettriche]]
==Richiami di Controlli Automatici==
Dal punto di vista di Comunicazioni Elettriche bisogna osservare che la parte di controlli automatici che serve è in pratica tutta la parte di analisi spettrale e di sviluppo di Fourier.
Lo sviluppo in serie di un segale ha per definizione la forma<br>
<math>x(t)=\sum_{-\infty}^{+\infty}{c_n \cdot e^{jn\omega_0t}}</math>
con <math>\omega_0 = \frac {2 \pi}{T}</math>, detta '''pulsazione fondamentale''', e <math>c_n=\frac{1}{T} \int_{\frac{T}{2}}^{-\frac{T}{2}} {x(t)\cdot e^{-jn\omega_0t} dt}</math>
Dalle formule appena descritte si osserva che i coefficienti che compongono <math>x(t)</math> sono sempre ''ortogonali''. Questo permete di constatare che generalmente si ha una <math>x(t)</math> complessa.
===Segnali periodici===
Un segnale si dice '''periodico''' quando di ha
<math>x(t+T)=x(t)</math>
Per questo motivo possiamo affermare che <br>
<math>x(t)=\sum_{-\infty}^{-1}{c_n \cdot e^{jn\omega_0t}}+\underbrace{c_0}_{valore medio del segnale}+\sum_{1}^{\infty}{c_n \cdot e^{jn\omega_0t}} </math>
<math>{}=\sum_{1}^{\infty}{c_{-n} \cdot e^{-jn\omega_0t}}+c_0+\sum_{1}^{\infty}{c_n \cdot e^{jn\omega_0t}}</math>
<math>{}=c_0+\sum_{1}^{\infty} {Re\{ {2c_n \cdot e^{jn\omega_0t}} \} }</math>
Questo può portare a due diverse ma comunque corrette interpretazioni della formula, ognuna dovuta ad una diversa analisi dei coefficienti complessi. Infatti possiamo dire due cose:
<math>c_0=A_0=\frac {1}{2}a_0</math>
<math>c_n=A_n \cdot e^{-j\varphi_n}=a_n-j\cdot b_n</math>
Utilizzando nella formula precedente la prima forma, ovvero la definizione polare, si ha, quindi
<math>x(t)=A_0+\sum_{1}^{\infty} {Re\{ {A_n \cdot e^{-j\varphi_n} \cdot e^{jn\omega_0t}} \} }</math>
<math>{}= A_0+\sum_{1}^{\infty}{A_n \cos(n\omega_0t-\varphi_n)}</math>
nella quale i coefficienti <math>A_0</math> e <math>A_n</math> sono gli elementi dello spettro di ampiezza e le fasi <math>\varphi_n</math> sono gli elementi dello spettro di fase.
Utilizzando al contrario la definizione cartesiana, si ha che
<math>x(t)=\frac {1}{2}a_0+\sum_{1}^{\infty} {Re\{ (a_n-j\cdot b_n) \cdot e^{jn\omega_0t} \} }</math>
<math>{}=\frac {1}{2}a_0+\sum_{1}^{\infty} {Re\{ (a_n-j\cdot b_n) \cdot (\cos(n\omega_0t)+j\cdot \sin(n\omega_0t)) \} }</math>
<math>{}=\frac {1}{2}a_0+\sum_{1}^{\infty} {a_n\cos(n\omega_0t)+ \sum_{1}}^{\infty}{b_n) \sin(n\omega_0t)}</math>
in cui la prima parte è nulla se la funzione è dispari, mentre è nulla la seconda parte se la funzione è pari.
Da queste osservazioni si può notare dunque che lo sviluppo in serie di Fourier di un segnale periodico ha sempre senso dando un numero limitato di armoniche.
===Segnali Aperodici===
Diverso è il caso dei segnali '''aperiodici''', per i quali uno sviluppo in serie dà un risultato non utile: un segnale di questo tipo ha infatti infinite armoniche.
===Analisi frequenziale===
Ora manca solo un collegamento che porti dall'analisi degli spettri di ampiezza e fase ad una analisi puramente frequenziale. Per questo è necessario definire una nuova funzione:
<math>X(\omega)=\int_{-\infty}^{+infty} {x(t) e^{-j\omega t}dt}</math>
In questo modo possono essere infatti definite due ulteriori funzioni molto utili al fine della costruzione dei diagrammi di Bode, che permettono di osservare il tipo di filtro generato dalla funzione <math>x(t)</math>:
<math>V(\omega)=\frac {\left|X(\omega)\right|} {\pi}</math>
<math>\varphi(\omega)=-arg(X(\omega))</math>
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