Materia:Comunicazioni elettriche: differenze tra le versioni
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Lo sviluppo in serie di un segale ha per definizione la forma<br>
<math>x(t)=\sum_{-\infty}^{+\infty}{c_n \cdot e^{jn\omega_0t}}</math
con <math>\omega_0 = \frac {2 \pi}{T}</math>, detta '''pulsazione fondamentale''', e <math>c_n=\frac{1}{T} \int_{\frac{T}{2}}^{-\frac{T}{2}} {x(t)\cdot e^{-jn\omega_0t} dt}</math>
Dalle formule appena descritte si osserva che i coefficienti che compongono <math>x(t)</math> sono sempre ''ortogonali''. Questo permete di constatare che generalemente si ha una <math>x(t)</math> complessa.
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===Segnali Periodici===
Un segnale si dice periodico quando di ha
<math>x(t+T)=x(t)</math>
Per questo motivo possiamo affermare che <br>
<math>x(t)=\sum_{-\infty}^{-1}{c_n \cdot e^{jn\omega_0t}}+\underbrace{c_0}_{valore medio del segnale}+\sum_{1}^{\infty}{c_n \cdot e^{jn\omega_0t}} </math>
<math>{}=\sum_{1}^{\infty}{c_{-n} \cdot e^{-jn\omega_0t}}+c_0+\sum_{1}^{\infty}{c_n \cdot e^{jn\omega_0t}}</math>▼
<math>{}=c_0+\sum_{1}^{\infty} {Re\{ {2c_n \cdot e^{jn\omega_0t}} \} }</math>▼
Questo può portare a due dverse ma comunque corrette interpretazioni della formula. Ognuna dovuta ad una diversa analisi dei coefficienti complessi. Infatti possiamo dire due cose:
<math>c_0=A_0=\frac {1}{2}a_0</math>
▲<math>{}=\sum_{1}^{\infty}{c_{-n} \cdot e^{-jn\omega_0t}}+c_0+\sum_{1}^{\infty}{c_n \cdot e^{jn\omega_0t}}</math>
<math>c_n=A_n \cdot e^{-j\phi_n}=a_n-j\cdot b_n</math>
Utilizzando nella formula precedente la prima forma,ovvero la definizione polare, si ha, quindi
▲<math>{}=c_0+\sum_{1}^{\infty} {Re\{ {2c_n \cdot e^{jn\omega_0t}} \} }</math>
<math>{}=A_0+\sum_{1}^{\infty} {Re\{ {A_n \cdot e^{-j\phi_n} \cdot e^{jn\omega_0t}} \} }= A_0+\sum_{1}^{\infty}{A_n \cos(n\omega_0t-\phi_n)}</math>
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